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第十四章 稳恒电流的磁场习题解答（仅作参考）

14．1 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B 。

[解答] 电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向

C A 里的．根据毕-萨定律： I ?0Idl?r0， dB?4?r2圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为

b O a 图14.1 A l Idl θ r O a Idl b D C D dB1??0Idl， 24?a由于 dl = adφ， 积分得

3?/2B1??dB1?L?0?0Id?3?0I． ?8a4?aOA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在

O点产生的磁场为

?Idlsin?， dB2?04?r2由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ，

所以 dl = bdθ/sin2θ；

又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，

?Isin?d?可得 dB2?0，

4?b积分得

同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2． O点总磁感应强度为

B?B1?B2?B3?3?0I2?0I． ?8a4?b14．6 在半径为R = 1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所

示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？

[解答] 取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR， 电流线密度为 i = I/C = IπR．

在半圆上取一线元dl = Rdφ代表无限长直导线的截面，

电流元为

dI = idl = Idφ/π，

R 在轴线上产生的磁感应强度为

?dI?Id?I dB?0?02， 2?R2?R方向与径向垂直．dB的两个分量为 dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ．

图14.6 积分得

??0I?0IBx??2cos?d??2sin??0，

2?R2?R00??I?02(?cos?)2?R??0?0I． ?2Ry R dBy dB φ odBx x 由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度

B = By = 6.4×10-5(T)，

方向沿着y正向．

14．8 在半径为R的木球上紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为相互平行，盖住半个球面，如图所示．设导线中电流为I，总匝数为N，求球心O处的磁感应强度B = ？

[解答]四分之一圆的弧长为 C = πR/2， 单位弧长上线圈匝数为 n = N/C = 2N/πR． 在四分之一圆上取一弧元

dl = Rdθ，

线圈匝数为 dN = ndl = nRdθ， 环电流大小为 dI = IdN = nIRdθ． 环电流的半径为 y = Rsinθ， 离O点的距离为 x = Rcosθ， 在O点产生的磁感应强度为

?NI?0sin2?d?， ?R方向沿着x的反方向，积分得O点的磁感应强度为

I R O 图14.8 y R θ dB ox ?0NI?/2?0NI． ?(1?cos2?)d???2?R04R14．11 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直

的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心o的磁感应强度B。

[解答] 圆盘面积为 S = πa2， 面电荷密度为 σ = Q/S = Q/πa2．

在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为 dS

ω = 2πrdr，

a所带的电量为 dq = σdS = 2πσrdr． o 薄圆环转动的周期为 T = 2π/ω， 形成的电流元为 dI = dq/T = ωσrdr．

图14.11 薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为

dB = μ0dI/2r = μ0ωσdr/2，

从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为

B = μ0ωσa/2 = μ0ωQ/2πa．

如果圆盘带正电，则磁场方向向上．

14．1 3 一电子在垂直于均匀磁场的方向做半径为R = 1.2cm的圆周运动，电子速度v =

104m·s-1．求圆轨道内所包围的磁通量是多少？

[解答] 电子所带的电量为e = 1.6×10-19库仑，质量为m = 9.1×10-31千克． 电子在磁场所受的洛伦兹力成为电子做圆周运动的向心力，即：

B f = evB = mv2/R，

所以 B = mv/eR． R 2o 电子轨道所包围的面积为 S = πR，

磁通量为 v -9

Φ = BS = πmvR/e =2.14×10(Wb)．

图14.13 14．17 载有电流I1的无限长直导线，在它上面放置一个半径为R

电流为I2的圆形电流线圈，长直导线沿其直径方向，且相互绝缘，如图所示．求I2在电流I1的磁场中所受到的力．

[解答] 电流I1在右边产生磁场方向垂直纸面向里，右上1/4弧受力向右上方，右下1/4弧受力向右下方；电流I1在左边产生磁场方向垂直纸面向外，左上1/4弧受力向右下方，左下1/4弧受力向右上方．因此，合力方向向右，大小是右上1/4弧所受的向右的力的四倍．

电流元所受的力的大小为dF = I2dlB，

I1 I2 其中 dl = Rdθ，B = μ0I1/2πr，

r 而 r = Rcosθ，

R θ所以向右的分别为

dFx = dFcosθ = μ0I1I2dθ/2π，

积分得

o ?0I1I2?/2?IIFx?d?d??012，

2?40图14.17

电流I2所受的合力大小为 F = 4Fx = μ0I1I2，

方向向右．

14．19 均匀带电细直线AB，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O以ω角速度均速转动，设直线长为b，其A端距转轴O距离为a，求：

（1）O点的磁感应强度B； （2）磁矩pm；

（3）若a>>b，求B0与pm．

[解答]（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，

在直线上距O为r处取一径向线元dr，所带的电量为 dq = λdr， 形成的圆电流元为 dI = dq/T = ωλdr/2π， 在圆心O点产生的磁感应强度为

ω dB = μ0dI/2r = μ0ωλdr/4πr，

B 整个直线在O点产生磁感应强度为

b ?0??a?b1?0??a?b， B?dr?ln?4?ar4?a如果λ > 0，B的方向垂直纸面向外．

（2）圆电流元包含的面积为S = πr2， 形成的磁矩为 dpm = SdI = ωλr2dr/2， 积分得

o a A 图14.19