内容发布更新时间 : 2024/11/15 6:36:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

例2 2017年武汉市中考第24题

如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在 △ABC的中位线EF上．

思路点拨

1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程． 2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．

3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．

满分解答

（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况：

BPBA5t10① 如果，那么??．解得t＝1．

BQBC8?4t8② 如果

BPBC5t832?，那么． ?．解得t?BQBA8?4t1041

图3 图4

（2）作PD⊥BC，垂足为D．

4，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t． 5当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．

ACCD68?4t7所以，即?．解得t?． ?QCPD4t3t8在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝

图5 图6

（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E． 由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点． 又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF． 因此F是BC的中点，E是AB的中点．

所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．

考点伸展

本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．

BPBC32如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，t?． ?BQBA41如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是

BPBA，t＝1． ?BQBC如图9，当⊙H与AC相切时，直径PQ?PD2?QD2?(3t)2?(8?8t)2， 半径等于FC＝4．所以(3t)2?(8?8t)2?8．

解得t?128，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）． 73

图7 图 8 图9 图10

例3 2017年苏州市中考第29题

121bx?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线y?

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．

满分解答

b)． 4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．

1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．

2428161616解得x?．所以点P的坐标为(,)．

555（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3

121b1x?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1． 4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOA（3）由y?b所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．

4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOA所以C、Q、B三点共线．因此

BOQA，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?bCOOA14

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．