内容发布更新时间 : 2024/5/1 19:26:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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a) 设S：他犯了错误。 R：他神色慌张。 前提为：S→R，R

因为（S→R）∧R?（┐S∨R）∧R?R。故本题没有确定的结论。 则有 ?（?x）（R（x）?Q（x））

h)设P（x，y）：直线x平行于直线y G（x，y）：直线x相交于直线y。 则有 P（A，B）??G（A，B） 实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。

b) 设P：我的程序通过。 Q：我很快乐。

R：阳光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）

前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S

(1) P→Q P (2) Q→R P

(3) P→R (1)(2)T,I (4) ┐R∨S P

(5) ┐R (4)T,I (6) ┐P (3)(5)T,I

结论为： ┐P，我的程序没有通过

习题2-1,2-2 （1） 解：

a) 设W（x）：x是工人。c：小张。 则有 ?W（c） b) 设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他 则有 S（h）?B（h） c) 设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。 则有 C（l）? B（l） d）设O（x）：x是奇数。 则有 O（m）?? O（2m）。 e)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。 则有 （?x）（Q（x）?R（x）） f) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。 则有 （?x）（R（x）?Q（x）） g) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。 （2） 解：

a) 设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。 则有 （?x）（J（x）?L（x））

b) 设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。 则有 （?x）（L（x）?S（x））

c) 设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。 则有 （?x）（J（x）?O（x）?V（x）） d) 设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练 则有 ? O（j）??V（j）

e) 设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。 则 ?（?x）（L（x）?J（x））

本题亦可理解为：某些运动员不是教练。 故 （?x）（L（x）??J（x）） f) 设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。 则有 （?x）（S（x）?L（x）?C（x）） g) 设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。 则有 （?x）（C（x）?V（x））或?（?x）（C（x）??V（x）） h) 设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x 是运动员。 则有 （?x）（O（x）?C（x）?L（x）） i) 设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。

则有 ?（?x）（W（x）?C（x）?H（x）） j）W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。 则有（?x）（W（x）?J（x）?C（x）） k）L（x）：x 是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。 则有 （?x）（L（x）? （?y）（J（y）?A（x，y））） l）设S（x）：x是大学生。L（x）：x 是运动员。A(x,y)：x钦佩y。 则（?x）（S（x）?（?y）（L（y）?? A(x,y)））

习题2-3 （1）解：

a）5是质数。

b）2是偶数且2是质数。

c）对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。 d）存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6） e）对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。

f）对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。

g）对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。

h）对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。 （2）解：（?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?!z)(L(z)∧R(x,y,z))) 或 （?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐(?u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u)))) （3）解：

a) 设N(x):x是有限个数的乘积。 z(y):y为0。

P(x):x的乘积为零。 F(y):y是乘积中的一个因子。

则有 (?x)((N(x)∧P(x)→(?y)(F(y)∧z(y)))

b) 设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。 故 (?x)(R(x)→(?y)(Q(x,y)∧R(y)))

c) R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。 则 (?x)(?y)(?z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)

（4）解：设G(x,y):x大于y。则有 (?x)(?y)(?z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(x·z,y·z))

（5）解：设N(x):x是一个数。 S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则

a) (?x)(N(x)→(?!y)(N(y)∧S(x,y)))

或(?x)(N(x)→(?y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z))))

b) ┐(?x)(N(x)∧S(x,1))

c) (?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?!y)(N(y) ∧S(y,x))) 或(?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))

（6）解：设S(x):x是大学生。 E(x):x是戴眼睛的。

F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。

G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:这

本。 b:那位。

则有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)

（7）解：设P(x,y):x在y连续。 Q(x,y):x>y。则

P(f,a)?((?ε)(?δ)(?x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))

习题2-4

(1) 解：a) x是约束变元，y是自由变元。 b) x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词?的约束，S(x)中的x受存在量词?的约束。

c) x，y都是约束变元,P(x)中的x受?的约束，R(x)中的x受?的约束。 d) x，y是约束变元，z是自由变元。 (2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c) b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c) c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c) d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c)) e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c)) (3) 解： a) (?x)(P(x)∨Q(x))?(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以 (?x)(P(x)∨Q(x))?(T∨F)∧(F∨T)??T。 b) (?x)(P→Q(x))∨R(a)? ((P→Q(?2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为P 为T，Q(?2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以 (?x)(P→Q(x))∨R(a)? ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F? F (4) 解：a) (?u)(?v)(P(u，z)→Q(v))?S(x，y) b) (?u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(?v)R(v))→(?z)S(x,z) (5) 解：a) ((?y)A(u，y)→(?x)B(x，v))∧(?x)(?z)C(x，t，z) b) ((?y)P(u，y)∧(?z)Q(u，z))∨(?x)R(x，t)

习题2-5 （1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))?P(1,f(1))∧P(2,f(2))?P(1,2)∧P(2,1)??T∧F?F

b) (?x)(?y)P(y,x)? (?x) (P(1,x)∨P(2,x))? (P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))

? (T∨F)∧(T∨F)?? T

c) (?x)( ?y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))??? (?x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2)))) ? (P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2))) ∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2) →P(f(2),f(2)))

? (P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1)) ? (T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)?F∧F∧T∧T?F （2）解：a) (?x)(P(x)→Q(f(x),a))??

?(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1)) ? (F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))??? (F→F)∧(T→T)??T b) (?x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))??? (P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1)) ? (T∧T)∨

(F∧F)??T

c) (?x)(P(x)∧Q(x,a)) ? (P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a)) ? (P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))??? (F∧T)∨(T∧F)??F d) (?x)( ?y)(P(x)∧Q(x,y))??? (?x) (P(x)∧(?y)Q(x,y))??? (?x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2))) ? (P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2))) ? (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F))??F

(3) 举例说明下列各蕴含式。

a) ?((?x)(P(x)∧Q(a))? (?x)P(x)??Q(a) b) (?x) (? P(x) ?Q(x)), (?x) ?Q(x)?P(a)

c) (?x) (P(x) ?Q(x)), (?x) (Q(x) ?R(x))? (?x) (P(x) ?R(x))

d) (?x) (P(x) ?Q(x)), (?x) ?P(x)? (?x)Q (x) e) (?x) (P(x) ?Q(x)), (?x) ?P(x)? (?x)Q (x) 解：a）因为?((?x)(P(x)∧Q(a)) ??(?x)P(x)∨?Q(a) 故原式为?(?x)P(x)∨?Q(a) ? (?x)P(x)??Q(a) 设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员

前提 或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员 结论 如果存在x是大学生，则必有a是运动员。 b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。 前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。

对论域中所有x， x不是大学生。

结论：对论域中所有x都是研究生。

故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。 c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。

前提 对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。

对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。

结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。 d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。

前提 对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。

对所有x，x不是研究生

结论 必存在x，x是运动员。 e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。

前提 对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。

对所有x，x不是研究生

结论 对所有x，x是运动员。 （4）证明：(?x)(A(x)→B(x))? (?x) (┐A(x)∨B(x)) ? (?x)┐A(x)∨ (?x) B(x)

? ┐(?x)A(x)∨(?x) B(x) ? (?x)A(x)→(?x) B(x)

（5） 设论域D={a，b，c}，求证(?x)A(x)∨(?x)B(x)?( ?x)(A(x)∨B(x)) 证明：因为论域D={a，b，c}，所以

(?x)A(x)∨(?x)B(x) ?(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))

?(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧

(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a)) ∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c))

?(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c)) ?( ?x)(A(x)∨B(x))

所以(?x)A(x)∨(?x)B(x)?( ?x)(A(x)∨B(x)) （6）解：推证不正确，因为

┐(?x)(A(x)∧┐B(x))?┐((?x)A(x)∧(?x)┐B(x)) （7）求证(?x)( ?y)(P(x)→Q(y)) ? ( ?x)P(x)→(?y)Q(y) 证明：(?x)( ?y)(P(x)→Q(y)) ?(?x)( ?y)( ┐P(x) ∨Q(y)) ?(?x) ┐P(x) ∨( ?y)Q(y) ?┐(?x)P(x) ∨( ?y)Q(y) ? ( ?x)P(x)→(?y)Q(y)

习题2-6

（1）解：a) (?x)(P(x)→(?y)Q(x,y))

?(?x)( ┐P(x) ∨(?y)Q(x,y)) ?(?x) (?y) (┐P(x) ∨Q(x,y))

b) (?x)(┐((?y)P(x,y))→((?z)Q(z)→R(x))) ?(?x)((?y)P(x,y)∨((?z)Q(z)→R(x)))

?(?x)((?y)P(x,y) ∨(┐(?z)Q(z) ∨R(x))) ?(?x)((?y)P(x,y) ∨((?z)┐Q(z) ∨R(x))) ?(?x) (?y) (?z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))

c)(?x)( ?y)(((?zP(x,y,z)∧(?u)Q(x,u))→(?v)Q(y,v))

?(?x)( ?y)( ┐((?z)P(x,y,z)∧(?u)Q(x,u))∨(?v)Q(y,v)) ?(?x)( ?y)( (?z)┐P(x,y,z) ∨(?u)┐Q(x,u)∨(?v)Q(y,v)) ?(?x)( ?y)( (?z)┐P(x,y,z) ∨(?u)┐Q(x,u)∨(?v)Q(y,v)) ?(?x)( ?y) (?z) (?u) (?v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v)) （2）解：a) ((?x)P(x)∨(?x)Q(x))→(?x)(P(x)∨Q(x))

?┐((?x)P(x)∨(?x)Q(x)) ∨(?x)(P(x)∨Q(x)) ?┐(?x) (P(x)∨Q(x)) ∨(?x)(P(x)∨Q(x)) ?T b) (?x)(P(x)→(?y)((?z)Q(x,y)→┐(?z)R(y,x))) ?(?x)( ┐P(x) ∨(?y)( Q(x,y)→┐R(y,x))) ?(?x) (?y) ( ┐P(x) ∨┐Q(x,y) ∨┐R(y,x)) 前束合取范式

?(?x) (?y)( (P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)) ∨ (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(┐P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨( (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧┐R(y,x)) ∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x))) 前束析取范式

c) (?x)P(x)→(?x)((?z)Q(x,z)∨(?z)R(x,y,z)) ?┐(?x)P(x) ∨(?x)((?z)Q(x,z)∨(?z)R(x,y,z)) ?(?x)┐P(x) ∨(?x)((?z)Q(x,z)∨(?u)R(x,y,u)) ?(?x)(┐P(x) ∨(?z)Q(x,z)∨(?u)R(x,y,u)) ?(?x) (?z) (?u)(┐P(x) ∨Q(x,z)∨R(x,y,u)) 前束合取范式

?(?x) (?z) (?u)(( P(x) ∧Q(x,z) ∧R(x,y,u)) ∨(P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)) ∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u)) ∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)) ∨(┐P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)) ∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u)) ∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))) 前束析取范式

d)(?x)(P(x)→Q(x,y))→((?y)P(y)∧(?z)Q(y,z))

?┐(?x)( ┐P(x) ∨Q(x,y)) ∨((?y)P(y)∧(?z)Q(y,z)) ?(?x)( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨((?u)P(u)∧(?z)Q(y,z)) ?(?x) (?u) (?z) (( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(P(u)∧Q(y,z))) 前束析取范式

?(?x) (?u) (?z) (( P(x)∨P(u)) ∧ (P(x)∨Q(y,z)) ∧(┐Q(x,y)∨P(u)) ∧ (┐Q(x,y)∨Q(y,z))) 前束合取范式

习题2-7 (1) 证明：

(2) a) ①(?x)(┐A(x)→B(x)) P

②┐A(u)→B(u) US① ③( ?x)┐B(x) P ④┐B(u) US③ ⑤A(u)∨B(u) T②E ⑥A(u) T④⑤I ⑦ ( ?x)A(x) EG⑥

b) ①┐( ?x)(A(x)→B(x)) P（附加前提）②( ?x)┐(A(x)→B(x)) T①E ③┐(A(c)→B(c)) ES② ④A(c) T③I ⑤┐B(c) T③I ⑥( ?x)A(x) EG④ ⑦ (?x)A(x)→(?x)B(x) P

⑧(?x)B(x) T⑥⑦I ⑨B(c) US⑧ ⑩B(c)∧ ┐B(c) T⑤⑨矛盾 c）①(?x)(A(x)→B(x)) P ②A(u)→B(u) US① ③( ?x)(C(x)→┐B(x)) P ④C(u)→┐B(u) US③ ⑤┐B(u) →┐A(u) T②E ⑥C(u)→┐A(u) T④⑤I ⑦(?x)(C(x)→┐A(x)) UG⑥

d) (?x)(A(x)∨B(x)),( ?x)(B(x)→┐C(x)),( ?x)C(x)? (?x)A(x) ①( ?x)(B(x)→┐C(x)) P

②B(u)→┐C(u) US① ③( ?x)C(x) P

④C(u) US③ ⑤┐B(u) T②④I ⑥ (?x)(A(x)∨B(x)) P ⑦A(u)∨B(u) US

⑧A(u) T⑤⑦I ⑨(?x)A(x) UG⑧ (2) 证明：

a)①( ?x)P(x) P（附加前提） ②P(u) US① ③(?x)(P(x)→Q(x)) P ④P(u)→Q(u) US③ ⑤Q(u) T②④I ⑥(?x)Q(x) UG⑤ ⑦( ?x)P(x)→(?x)Q(x) CP b)因为(?x)P(x)∨(?x)Q(x)?┐(?x)P(x) →(?x)Q(x)

故本题就是推证(?x)(P(x)∨Q(x))?? ┐(?x)P(x) →(?x)Q(x) ①┐(?x)P(x) P（附加前提） ②( ?x)┐P(x) T①E ③┐P(c) ES② ④(?x)(P(x)∨Q(x)) P ⑤P(c)∨Q(c) ES④ ⑥Q(c) T③⑤I ⑦( ?x) Q(x) EG⑥ ⑧┐(?x)P(x) →(?x)Q(x) CP (3)

解：a)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。I（x）：x是整数。本题符号化为：

(?x)(Q(x) →R(x)) ∧(?x)(Q(x) ∧I(x))?? (?x)(R(x) ∧I(x)) ①(?x)(Q(x) ∧I(x)) P ②Q(c) ∧I(c) ES① ③(?x)(Q(x) →R(x)) P

④Q(c) →R(c) US③ ⑤Q(c) T②I ⑥ R(c) T④⑤I ⑦I(c) T②I