内容发布更新时间 : 2024/5/16 12:37:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I ⑨(?x)(R(x) ∧I(x)) EG⑧ b)设P（x）：x喜欢步行。Q（x）：x喜欢乘汽车。R（x）：x喜欢骑自行车
本题符号化为：
(?x)(P(x) →┐Q(x)), (?x)(Q(x) ∨R(x)) , (?x) ┐R(x)?? (?x) ┐P(x) ①(?x) ┐R(x) P ②┐R (c) ES① ③(?x)(Q(x) ∨R(x)) P ④Q(c) ∨R(c) US③ ⑤Q(c) T②④I ⑥ (?x)(P(x) →┐Q(x)) P ⑦P(c) →┐Q(c) US⑥ ⑧┐P (c) T⑤⑦I ⑨(?x) ┐P(x) EG⑧
c) 每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。 设G（x）：x是大学生。L（x）：x是文科学生。P（x）：x是理工科学生。S（x）：x是优秀生。c：小张。 本题符号化为：
(?x)(G(x) →L(x)∨P(x)), (?x)(G(x) ∧ S(x)), ┐P (c) , S(c) ? G(c) →L(c)
①G(c) P（附加前提） ②(?x)(G(x) →L(x)∨P(x)) P ③G(c) →L(c)∨P(c) US② ④L(c)∨P(c) T①③I ⑤┐P (c) P
⑥ L(c) T④⑤I ⑦G(c) →L(c) CP 注意：本题推证过程中未用到前提(?x)(G(x) ∧ S(x))以及S(c)。主要是S（x）：x是优秀生，这个条件与其他前提的联系对证明结论没有影响，因S（x）与其他前提不矛盾，故本题的推证仍是有效的。
证明 设A上定义的二元关系R为：
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R?xu
y =v
① 对任意＜x,y＞∈A，因为xy =x
y ，所以
＜＜x,y＞, ＜x,y＞＞∈R 即R是自反的。
② 设＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R?xuux
y =v ?v =y ?＜＜u,v＞,＜
x,y＞＞∈R
即R是对称的。
③ 设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R
?（xuuy =v ）∧（v =wxws ）?y =s
?＜＜x,y＞, ＜w,s＞＞∈R
故R是传递的，于是R是A上的等价关系。
3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使
＜a,b＞∈R∧＜b, c＞∈R?＜a, c＞∈R?＜c,a＞∈R 由＜a,c＞∈R∧＜c, a＞∈R?＜a,a＞∈R
所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。
3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。
a）（A×A）-R1； b）R1-R2； c）R21；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。 解 a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞} （A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞} 所以（A×A）-R1不是A上等价关系。 b）设 A={a,b,c}
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，
＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞} R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。 c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1?＜a,a＞∈R1○R1
所以R21是A上自反的。
若＜a,b＞∈R21则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1
对称，故有
＜b, c＞∈R21∧＜c,a＞∈R1?＜b, a＞∈R1
即R2
1是对称的。
若＜a,b＞∈R21∧＜b, c＞∈R21,则有 ＜a,b＞∈R1○R1∧＜b, c＞∈R1○R1 ?（?e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（?e2）（＜b, e2＞∈
R1∧＜e2, c＞∈R1）
?＜a,b＞∈R1∧＜b, c＞∈R1（∵R1传递）
?＜a,c＞∈R2
1
即R2
1是传递的。
故R21是A上的等价关系。
d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但 r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞} 不是A上的等价关系。
3-10.8 设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)?ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0?(a+bi)R(a+bi) 故R在C*上是自反的。
(2) 对任意(a+bi)R(c+di)?ac>0, 因ca=ac>0?(c+di)R(a+bi), 所以R在C*上是对称的。
(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0?cu>0 若c>0，则a>0?u>0? au>0 若c<0，则a<0?u<0? au>0
所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。
关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。
3-10.9 设Π和Π?是非空集合A上的划分，并设R和R?分别为由Π和Π?诱导的等价关系，那么Π?细分Π的充要条件是R? ? R。
证明：若Π?细分Π。由假设aR?b，则在Π?中有某个块S?，使得a,b∈S?，因Π?细分Π，故在Π中，必有某个块S，使S?? S，即a,b∈S，于是有aRb,即R? ? R。
反之，若R? ? R，令S?为H?的一个分块，且a∈S?，则S?=[a]R?={x|xR?a} 但对每一个x，若xR?a，因R? ? R，故xRa，因此{x|xR?a} ?{x|xRa}即[a]R? ?[a]R
设S=[a]R,则S?? S
这就证明了Π?细分Π。
3-10.10 设Rj是表示I上的模j等价关系，Rk是表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。
证明：由题设Rj={
Rk={
故
b)若对于某个r∈I，有k=rj则：
因此，Rk ? Rj，于是I/Rk细分I/Rj