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2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编
《空间向量与立体几何》
一、选择题
1.三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角A—BC—D的大小为D
A． 300 B． 450 C．600 D．900 2.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面角大小为θ，则sin?的值等于( A ) A．
34737 B． C． D． 43473.如图，已知平面??平面?，A、B是平面?与平面?的交线上的两个定点，
DA??,CB??，且DA??，CB??，AD?4，BC?8，AB?6，在平面?内有一个动点P，使得?APD??BPC，则?PAB的面积的最大值是（ C ）
A．24 B．32 C．12 D．48
4.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中,?BAC??2,AB=AC=A1A=1,已知G与E分别是棱A1B1和CC1
的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）。若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ A ）
A
(A) B
O
D
C
第2题 第3题 第4题
?5.如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90，AE⊥PB于E，AF⊥
A.[
15，1) B. [
1,2) C. [1, 52) D. [
15，2)
PC于F, 若PA?AB?2，∠BPC=?，则当?AEF的面积最大时，tan?的值为( D )
A． 2 B
12 C．2 D． 226.如图S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，
则异面直线EF与SA所成角为(C)
A．90o B．60o C．45o D．30o
7.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC，且A1Ｃ与底面成 45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为(Ｃ)
A．43 B．33 C．４ Ｄ． 3
ACFBPE 第5题 第6题 第7题 8.正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为（B ） A、3
B、6
C、9
D D、18
E M ? B D1 P ? N ? A1 F B1
C1 C
9.如图,正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别是棱
的几何体的体积为( D )
CD、C1D1的中点,长为2的线段MN的一个端点M在线段
EF上运动,另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动,则线段
MN的中点P的轨迹(曲面)与二面角D?C1D1?B1所围成 A 4?2? A． B.
33 C.
?? D. 6310.已知一个平面与正方体的12条棱所成的角都等于?,则sin?的值为（ C ）
二、填空题
1.在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则
A．1 B．2
22C．3
3D．6
4111??，由此类比：222hab三棱锥S- ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面上 的高为h，则
1111??? 。 h2a2b2c22.如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
D A O C B
AB?AC?6,AD?2，则AD两点间的球面距离 2?3 .
3.已知体积为3的正三棱锥V?ABC的外接球的球心为Ｏ，满足OA?OB?OC?0,则三棱锥外接球的体积为＿＿＿＿
16?． 3124.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为；
②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45?；
③空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影， 其面积的最小值是；
A1D1.EC1B1CB12310④AE与DC1所成的角为arccos；
10⑤二面角A-BD1-C的大小为
DA5?． 6其中真命题是 ②③④ ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
1.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,?BAD?90?，PA垂直于底面ABCD，PA?AD?AB?2BC?2,M,N分别为PC,PB的中点。
(1)求证：PB?DM；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）求截面ADMN的面积。
解：（1）证明：因为N是PB的中点，PA?AB， 所以AN?PB。 由PA?底面ABCD，得PA?AD，
?又?BAD?90，即BA?AD，
? AD?平面PAB，所以AD?PB ， ? PB?平面ADMN， ?PB?DM。
（2）连结DN，
因为BP?平面ADMN，即BN?平面ADMN， 所以?BDN是BD与平面ADMN所成的角， 在Rt?ABD中，BD?故BN?t?PAB在RBA2?AD2?22，
中，PB?PA2?AB2?22，
1BN1PB?2，在Rt?BDN中, sin?BDN??，又0??BDN??， 2BD2故BD与平面ADMN所成的角是
?。 611BC?， 22（3）由M,N分别为PC,PB的中点，得MN//BC，且MN?又AD//BC，故MN//AD，由（1）得AD?平面PAB，又AN?平面PAB，故
AD?AN，
?PA中B，PB?PA2?AB2?22，是直角梯形，在Rt?四边形ADMNAN?1PB?2， 211152。 ? 截面ADMN的面积S?(MN?AD)?AN?(?2)?2?2224（1）以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A?xyz，如图所示（图略）
由PA?AD?AB?2BC?2，得A(0,0,0)，P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,,1),D(0,2,0) 因为PB?DM?(2,0,?2)(1,?123,1) ?0 ，所以PB?DM。 2（2）因为 PB?AD?(2,0,?2)?(0,2,0)?0 所以PB?AD，又PB?DM ， 故PB?平面ADMN，即PB?(2,0,?2)是平面ADMN的法向量。 设BD与平面ADMN所成的角为?，又BD?(?2,2,0)。 则sin??|cos?BD,PB?|?又??[0,|BD?PB||?4|1??，
|BD||PB|4?4?4?42?2]，故???6，即BD与平面ADMN所成的角是
?。 6ADCP因此BD与平面ADMN所成的角为
?， 6B2.如图，已知ABCD?A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，
?AD1A1?60，AD1?4，点P是AD1上的动点．
A1D1B1C1（1）试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有平面
B1PA1垂直于平面AA1D1D并证明你的结论；
（2）当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值； （3）求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值．
解：（1）不论点P在AD1上的任何位置，都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1. 证明如下：由题意知，B1A1?A1D1，B1A1?A1A 又
AA1A1D1?A1
?B1A1?平面AA1B1?平面B1PA1 ?平面B1PA1?平面AA1D1 又A1D1． （2）解法一：过点P作PE?A1D1，垂足为E，连结B1E（如图），则PE∥AA1，
??B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角．
BADCP在Rt△AA1D1中 ∵?AD1A1?60 ∴?A1AD1?30 ∴A1B1?A1D1?21111AD1?2, A1E?A1D1?1， 222A1EB1C1D11 ?B1E?BA?A1E?5． 又PE?AA1?3．
2?在Rt△B1PE中，B1P?5?3?22 cos?B1PE?PE36． ??B1P224zADC6． ?异面异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为4B0，0)，解法二：以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则A1(0，P0，0)，P(010，23)，B1P?(?21，，3) A(0，0，23)，B1(2，，，3)，?A1A?(0，A1D1y，B1P??∴cos?A1AA1A?B1P66． ??4|A1A|?|B1P|23?22xB1C1