内容发布更新时间 : 2024/5/8 4:19:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（1）求证：PB⊥平面MNB1；
（2）设二面角M—B1N—B为α，求cosα的值. 解：（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则 P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）.
∵PB·MB1 =（2，2，－1）·（0，1，2）=0， ∴MB1⊥PB，同理，知NB1⊥PB.
∵MB1∩NB1=B1，∴PB⊥平面MNB1. （2）∵PB⊥平面MNB1，BA⊥平面B1BN，
∴PB=（2，2，－1）与BA=（0，2，0）所夹的角即为α，
A1 D1 C1
B1
D C N
M
B
P 2cosα==.
|PB||BA|3
PB?BAA
27.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为正方形，且PD?平面ABCD，
PD?AB?1,E,F分别是PB,AD的中点．
（１）证明：EF?平面PBC； （２）求二面角B?FC?E的大小．
解：（１）以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴、
DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）， P（0，0，1），∴E(,,),F(,0,0)． ∴EF?(0,?1112221211,?),BC?(?1,0,0),CP?(0,?1,1)，所以EF?BC?0,EF?CP?0, 22所以EF?BC,EF?CP，又BC?CP?C，故EF?平面PBC． （２）设平面FCE的法向量为n?(x0,y0,z0)，CE?(,?121111,),EF?(0,?,?) 222211??x0?2?y?z0?00????EF??00?nnEF???22?由取?y0?1，∴n?(2,1,?1)． ???nnCE??CE??00?1x?1y?1z?0?z??1???000?0??222又平面BCF的一个法向量为DP?(0,0,1)，
所以cos?DP,n???11?6??6． 6∵二面角B?FC?E是锐二面角，即二面角B?FC?E的大小是一个锐角， ∴二面角B?FC?E的大小与?DP,n?是互补的． 故二面角B?FC?E的大小为arccos66 28.三棱锥
P—ABC，截面
A1B1C1//底面
ABC，∠BAC=90°，PA⊥底面
A1A=
3,AB?2,AC?2,A1C1?1,BD1DC?2. （1）求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1； （2）求二面角A—CC1—B的大小。
解：（1）BC?AB2?AC2?6，A到BC距离d?AB?AC?23BC3
令d=AD′，BD′=AB2?d2?6又63,BD=
?D?与D重合
3?AD?BC又BC?PA,?BC?面A,ADBC?为BCC1B
?平面A1AD?平面BCC1B1
（2）建系：A（0，0，0）
，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴， 则B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，3），C（0，1，3） 平面ACC1的法向量n?（1，0，0）在平面BCC1内，BC?(?2,2,0)
CC?(0,?1,3)设法向量为m?(x,y,z)
???BC?m??22x?2y?0 ??CC?m??y?3z?0令z?3得y?3,x?32?m?(32,3,3)
cos??n?m?32|n|?|m|?151?305
ABC，
二面角A—CC1—B的大小为arccos155
29.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°. (Ⅰ)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；
(Ⅱ)已知点D满足BD?BA?BC，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O， ∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等， ∴AO=1，OA1=OB=3，BO⊥AC.
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
A(0，-1，0)，B(3，0，0)，A1(0，0，3)，C(0，1，0)，AA,3)； 1?(0,1∴AB1??3,2,3,AC??0,2,0?.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)
???n?AB1?3x?2y?3则?解得n=(-1,0,1). ??n?AC?2y?0
AA1?n36由cos
∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为
6. 4(Ⅱ)∵BD?BA?BC,而BA??3,?1,0,BC??3,1,0. ∴BD?(?23,0,0) 又∵B(3，0，0)，∴点D的坐标为D(-3，0，0).假设存在点P符合题意， 则点P的坐标可设为P(0，y，z). ∴DP??????3,y,z
?∵DP∥平面AB1C，n=(-1，0，1)为平面AB1C的法向量， ∴由AP??AA1，得??y?1???3??3,?y?0.
PP1B2ABC又DP?平面AB1C，故存在点P，使
BADP∥
1CD1平面AB1C，其从标为(0，0，3)，即为A1点
30.一个四棱锥的直观图和三视图如示：
CBAD恰好
图所
P
（Ⅰ）求三棱锥A-PDC的体积；
（Ⅱ）试在PB上求点M，使得CM∥平面PDA；
(Ⅲ) 在BC边上是否存在点Q，使得二面角A-PD-Q为120？若存在，确定点Q的位置；若
不存在，请说明理由．
由三视图可知：PB?底面ABCD，底面ABCD为直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2
111VA?PCD?VP?CDA???1?1?
326(Ⅱ) 当M为PB的中点时CM∥平面PDA.
取PB中点N,连结MN，DN，可证MN∥DN且MN＝DN ∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA (Ⅲ)分别以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 假设在BC边上存在点Q，使得二面角A-PD-Q为120
∴B?0,0,0?,A?0,2,0?,D?1,1,0?,P?0,0,1?,且设Q(x,0,0)x?[0,1],
ur设平面PND的法向量n1?(x1,y1,z1) uruuururuuururuuuruuuruuur∴n1?DQ,n1?PQ∴n1?DQ?0n1?PQ?0
uuuuuruuur∵DQ?(x?1,?1,0),PD?(1,1,?1)ur?x1(x?1)?y1?011
∴?令z1?1得n1?(,1?,1)x?y?z?0xx?111uuruur同理，设平面PDA的法向量n2?(x2,y2,z2)，可得n2?(1,1,2)
uruururuurn1?n2COSn1,n2?uruur?n1?n231=-cos120?，
2112?(1?)?1?6x2x解得x?1,即N(1,0,0)为BC边中点.
22
AC中点．AB?2 31.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1中， E是
B B1
A A1
（1）求证：AB1//平面BEC1；
（2） 当A二面角E?BC1?C 的正弦值为1A为何值时，解：(1) 连接B1C交BC1于点F，连接EF．
在?AB1C中，?E,F分别为AC,B1C中点，?EF//AB1．
10？ 5C
E
C1
?AB1?平面BEC1，EF?平面BEC1，?AB1//平面BEC1． （2）：设AA1?a，取A1C1中点G，连接EG， 以E为坐标原点建立空间直角坐标系，如右图所示： 则E?0,0,0?,B0,0,3,C1?1,a,0?,C?1,0,0?，
z B A E B1 A1 ??C x G C1 y 则BE?0,0,?3,C1E???1,?a,0?,BC1?1,a,?3,BC?1,0,?3．
设平面BEC1的法向量为m1??x1,y1,z1?，平面BC1C的法向量为m2??x2,y2,z2?，
???????????3z1?0?x2?ay2?3z2?0?m1?BE?0?m2?BC1?0则有?，?，即?，?，
???x1?ay1?0??x2?3z2?0?m1?C1E?0??m2?BC?01设x1?1,x2?3，则y1??,z1?0,y2?0,z2?3，
a?1??m1??1,?,0?,m2?3,0,3
?a??cos?m1,m2????m1?m2m1m2?1?319?3a2?15，解得a?2． 5?即当AA1?2时，二面角E?BC1?C的正弦值为
10． 532.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满
13（I）求证：PA⊥平面ABCD； （II）求二面角E－AC－D的大小；
足PE?PD．