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天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计（论文）

表4-1 6种窗函数的基本参数

窗函数类型 矩形窗 三角窗 汉宁窗 哈明窗 布莱克曼窗 凯赛窗

分瓣峰值（dB）

-13 -25 -31 -41 -57 -57 过度带宽度(P/N) 阻带最小衰减（dB）

4 -21 8 -25 8 -44 8 -53 12 -74 7.442 -80

4.2 利用频率采样法设计FIR数字滤波器

频率抽样法是从频域出发，在频域直接设计，把给定的理想频率响应

Hd(ej?)加以等间隔抽样，并以此作为实际FIR滤波器的频率响应。设所需要的

滤波器的频率响应为Hd(ej?)。

现要求设计一个M阶的FIR滤波器h[k]，使得Hd(ej?)在M+1个抽样点上，FIR滤波器的频率响应Hd(ej?)与所需的频率响应Hd(ej?)相等，即 Hd(e)?H(ej?j?m)??h[k]e?jk?,m?0,1,....,M (4-16)

k?0MHd(ej?)由设计的要求给定，h[k]需要通过设计来确定。如果M+1个方程是线性

无关的，则可以通过求解M+1阶线性方程来得出FIR滤波器的h[k]。对?m的一些特殊抽样方法，上述方程的解可以直接由IDFT得到。由于要求设计出的滤波器是实系数的线性相位FIR滤波器，所以Hd(ej?)的抽样值还需要满足线性相位滤波器的约束条件。

I型和II型线性相位滤波器的??0，III型和IV型线性相位滤波器的

??。为了使设计出的滤波器具有线性相位，Hd(ej?)在M+1个抽样点上的值Hd[m]应为

Hd[m]?Hd(ej2?M?1π2)?eeAd[m]j??jM?mM?1Ad(

?ej?e?j2?m)M?1M?mM?1 (4-17)

下面分别讨论四种线性相位滤波器在抽样点Hd[m]上的值：

I型（M为偶数，h[k]偶对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为

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?M?j?M?1?(0?m?M/2) (4-18) Hd[m]??Ad[m]e??Hd[M?1?m](M/2?1?M)上式表明I型线性相位FIR滤波器Hd[m]在M/2?1?m?M的值可由

Hd[m]在1?m?M/2的值确定。在Hd[m]的值确定以后，对Hd[m]做M+1点的IDFT即可得到I型线性相位滤波器的h[k]。

II型（M为奇数，h[k]偶对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为

?M?jm?M?1(0?m?(M?1)/2)?Ad[m]e? Hd[m]??0(m?(M?1)/2) (4-19)

?H[M?1?m](M?3)/2?1?m?M)?d?上式表明II型线性相位FIR滤波器Hd[m]在(M?3)/2?1?m?M的值可由Hd[m]在1?m?(M?1)/2的值确定。

III型（M为偶数，h[k]奇对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为

?0(m?0)??M?jm?M?1 Hd[m]??jAd[m]e(1?m?M/2) (4-20)

?H[M/2?1?m?M)d??上式表明III型滤波器线性相位FIR滤波器Hd[m]在M/2?1?m?M的值可由

Hd[m]在1?m?M/2的值来确定。

IV型（M为奇数，h[k]奇对称）线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为

?0(m?0)??M?jm?M?1(1?m?(M?1)/2) (4-21) Hd[m]??jAd[m]e?H[M?1?m](M?3)/2?m?M)d??上式表明IV型线性相位FIR滤波器Hd[m]在的值可(M?3)/2?m?M由Hd[m]在1?m?(M?1)/2的值确定。

对Hd(ej?)进行频率抽样，就是在z平面单位圆上的N个等间隔点上抽样出频率响应值。在单位圆上可以有两种抽样方式，第一种是第一个抽样点在w=0处，第二种是第一个抽样点在w=?/M处，每种方式可分为M为偶数与M为奇数

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两种。

为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的徒然变化而引起的起伏变化（这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小，例如从衰减30dB变小为衰减20dB）。和窗口法的平滑截断一样，这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上了一些过渡的抽样点（在这些点上抽样的最佳值由计算机算出），从而增加过渡带，减小频带边缘的突变，也就是减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。这些抽样点上的取值不同，效果也不同。如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的游泳频带的博文减小，从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。

在理想低通滤波器的设计中，若不增加过渡点，阻带和通带之间的衰减约为-21dB，如果在通带和阻带之间增加一个采样点，阻带的最小衰减就可以提高到-65dB，如果增加两个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-75dB，如果增加3个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-85dB至-95dB。

频率抽样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计；缺点是抽样频率只能等于2?/M的整数倍或等于2?/M的整数倍上加上?/M，因而不能确保截止频率Wc的自由取值。要想实现自由选择频率，则必须增加抽样点数M，但这种计算量加大。

4.3 利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器

等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳逼近法设计的FIR滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。这就是等波纹的含义。最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权的误差波纹幅度最小化。浴场函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法师滤波器的最大逼近误差均匀分布，随意设计的滤波器性能价格比较高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。

等波纹最佳逼近法的基本思想是用Hd(?)表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时,Hd(?)必须满足线性相位约束条件。用

Hg（?）表示实际设计的滤波器幅度特性函数。定义加权误差函数E(?)为

E（?）=W（?）[hd(?)- hg（?）]

式中，W（?）称为误差加权函数，用来控制不同的频段的逼近精度。等波纹最佳逼近法基于切比雪夫逼近，在通带和组带以E(?)的最大值最小化为标准，采用Remez多重交换迭代算法求解滤波器系数h(n)[3]。所以W（?）取值越

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大的频段，逼近精度越高，开始设计时应根据逼近精度要求确定W（?）,在Remez多重交换迭代过程中W（?）是确知函数。

等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为“逼近区域”和“无关区域”。逼近区域一般只通带和阻带，而无关区域一般只过度带。设计过程中只考虑对逼近区的最佳逼近。应当注意，无关区宽度不能为零，即Hd（?）不能是理想滤波特性

利用等波纹最佳逼近准则设计线性相位FIR数字滤波器数字模型的建立及其求解算法的推导复杂，求解计算必须借助计算机，幸好滤波器设计专家已经开发出了MATLAB信号处理工具箱函数remezord和remez,只要简单的调用这两个函数就可以完成线性相位FIR滤波器的等波纹最佳逼近设计。

remez函数实现线性相位FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近法设计。其调用格式为hn=remez(M.f.m.w)。调用结果返回单位脉冲响应向量hn。Remez函数的调用参数（M，f,m,w)一般通过调用remezord函数来计算

采用remezord函数，可根据逼近指标估算等波纹最佳逼近FIR数字滤波器的最低阶数M，误差加权向量w和归一化边界频率向量f。是滤波器在满足指标的前提下造价最低。其返回参数作为remez函数的调用函数。其调用格式为 [M，fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs)

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第五章 利用MATLAB实现FIR滤波器设计

5.1 窗函数法的MATLAB实现

在窗函数法的MATLAB实现中，程序中经常使用的函数有fir1和kaiserord。 程序中fir1函数的用法：b=fir1(n,Wn,’ftype’,window) ①n为滤波器的阶数

②Wn为滤波器的截止频率，它是一个0到1的数。如果Wn是一个含有两个数的向量，则函数返回一个带通滤波器

③ftype为滤波器的类型，ftype=’high’时，设计的是高通滤波器；ftype=’stop’时，设计的是带阻滤波器；没有此参数时，设计的是低通滤波器 ④window为指定的窗函数，矩形窗为boxcar(n)，汉宁窗为hanning(n)，海明窗为hamming(n)，布莱克曼窗为blackman(n)，凯撒窗为kaiser(n,beta)，没有此参数时，默认为hamming窗

程序中kaiserord函数的用法：[n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev,Fs) ①f是一个向量，为设计滤波器过渡带的起始点和结束点 ②a是一个向量，指定频率段的幅度值

②dev是一个向量，长度和a相同，为各个通带和阻带内容许的幅度最大误差 ④n为能够满足要求的滤波器的最小阶数 ⑤Wn为滤波器的截止频率

⑥ftype为根据待设计滤波器的要求得到的滤波器的类型

高通滤波器是容许高频信号通过、但减弱（或减少）频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的减弱程度不同。它有时被称为低频剪切滤波器；在音频应用中也使用低音消除滤波器或者噪声滤波器。低通滤波器与高通滤波器特性恰恰相反[13]。

(1)用升余弦窗设计一个线性相位低通FIR数字滤波器

π截止频率Wc=rad 。窗口N=15，33。要求在两种窗口长度情况下，分别求

4出h(n)，绘制相应的幅频特性和相频曲线。观察3db带宽和20db带宽，总结窗口N对滤波特性的影响。设计低通FIR数字滤波器时，一般以理想低通滤波特性为逼近函数即

?j?a?e???c?j?Hd(e)??

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