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组__合 第一课时 组合与组合数公式

[对应学生用书P12]

从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘． 问题1：所得商和积的个数相同吗？ 提示：不相同． 问题2：它们是排列吗？

提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．

问题3：一个小组有7名学生，现抽调5人参加劳动．所抽出的这5人与顺序有关吗？ 提示：无关．

问题4：你能举个这样的示例吗？ 提示：从你们班选7名同学组成班委会．

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

从1,3,5,7中任取两个数相除． 问题1：可以得到多少个不同的商？ 提示：A24＝4×3＝12种．

问题2：如何用分步法理解“任取两个数相除”？

提示：第一步，从这四个数中任取两个元素，其组合数为C24，第二步，将每一组合中的两个不同元素作全排列，有A22种排法．

2问题3：你能得出C4的结果吗？

组合的概念 组合数与组合数公式 提示：因为

3

22

A24＝C4A2，所以

A242

C4＝2＝6.

A2

2

问题4：试用列举法求得从1,3,5,7中任取两个元素的组合数？ 提示：1,3；1,5；1,7；3,5；3,7；5,7共6种．

组合数与组合数公式 组合数 定义 表示法 组合数 公式 性质 备注

1．组合的特点是只取不排

组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．

2．组合的特性

元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求． 3．相同的组合

根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．

[对应学生用书P13]

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号Cmn表示 乘积形式 阶乘形式 nCmn＝Cn－mCmn＝n?n－1??n－2?…?n－m＋1? m！Cmn＝n！ m！?n－m?！－mm1；Cm n＋1＝Cn＋Cn①n，m∈N*且m≤n.②规定C0n＝1

组合的有关概念 [例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．

(1)高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

(2)高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

[精解详析] (1)①是排列问题，共通了A211＝110封信； ②是组合问题，共握手C211＝55次．

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(2)①是排列问题，共有A210＝90种选法； ②是组合问题，共有C210＝45种选法．

[一点通] 区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起．而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

1．下列问题：

①铁路线有5个车站，要准备多少车票？ ②铁路线有5个车站，有多少种票价？

③有4个篮球队进行单循环比赛，有多少种冠亚军的情况？ ④从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生，有多少种不同选法？

⑤从a，b，c，d 4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法？ 其中是组合问题的是________．(将正确的序号填在横线上)

解析：来往的车票是不同的，因为它具有方向性，即有序；而来往的票价是相同的，没有方向性；单循环是无序的，但冠亚军却有明显的顺序；从4名学生中选出2名学生无顺序；而2名学生完成两件不同的工作是有序的．

答案：②④

2．求出问题1中组合问题的组合数．

解：②铁路线有5个车站，有C25＝10种不同的票价．

④从a，b，c，d 4 名学生中选出2名学生，有C24＝6种不同的选法.

33[例2] (1)计算：C4A3； 10－C7·72(2)解方程3Cxx－3＝5Ax－4.

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组合数的计算问题 [思路点拨] (1)直接利用公式计算； (2)由计算公式化为关于x的方程．

3[精解详析] (1)原式＝C410－A7

＝

10×9×8×7

－7×6×5＝210－210＝0.

4×3×2×1

(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为

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