内容发布更新时间 : 2025/1/10 10:47:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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【知识梳理】

1．数列的前n项和

对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.

2．等差数列的前n项和公式

已知量 选用 公式 【常考题型】 题型一、等差数列前n项和的有关计算

1

【例1】 (1)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；

2Sn＝________.

(2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

1

(1)[解析] 设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn

2n?n－1?n?n＋1?

＝na1＋d＝.

24

[答案] 1

n?n＋1?

4

首项，末项与项数 n?a1＋an?Sn＝ 2首项，公差与项数 n?n－1?Sn＝na1＋d 2a＝a＋?n－1?d，??n1

(2)[解] 由? n?n－1?

S＝na＋d，n1?2?a＋2?n－1?＝11，??1

得? n?n－1?

na＋×2＝35，?2?1

???n＝5，?n＝7，解方程组，得?或?

?a1＝3???a1＝－1.

【类题通法】

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．

【对点训练】

1．已知等差数列{an}．

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53

(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；

62(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.

531解：∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－. 626n?n－1?

又Sn＝na1＋·d＝－5，

2解得n＝15，n＝－4(舍)．

8?a1＋a8?8?4＋a8?

(2)由已知，得S8＝＝＝172，

22解得a8＝39，

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.

题型二、已知Sn求通项公式an

【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，

∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1， ∴an＝Sn－Sn－1

＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1) ＝－4n＋3.

又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是

??1，n＝1，

an＝?

?－4n＋3，n≥2.?

(2)由(1)知，当n≥2时，

an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，

∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列． 【类题通法】

已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1.

(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.

(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；

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如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为

??S1，n＝1，an＝?(如本例)．

?Sn－Sn－1，n≥2?

【对点训练】

2．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2.

解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1； 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5.

此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故an＝4n－5.

(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1； 当n≥2时，Sn－1＝3n1－2，

则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n1－2)＝3n－3n1 ＝3·3n1－3n1＝2·3n1.

此时若n＝1，an＝2·3n1＝2·311＝2≠a1，

??1， n＝1，故an＝?n－1

?2·3，n≥2.?

－

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题型三、等差数列前n项和的性质

【例3】 (1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( ) A．58 C．143

B．88 D．176

(2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.

(1)[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8

11?a1＋a11?

＝2a6＝16?a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88.

2

[答案] B

(2)[解] ∵数列{an}为等差数列，

∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列．

设其公差为D，则S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100， 10×9

即10S10＋×D＝S100＝10.

2

又∵S10＝100，代入上式，得D＝－22，

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∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110. 【类题通法】

等差数列的前n项和常用的性质

(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成公差为k2d的等差数列． Sn

(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)?数列{}为等差数列．

n(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， S奇an

①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；

S偶an＋1S奇n

②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. S偶n－1【对点训练】

3．(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，则S13＝________. 解析：因为a1＋a13＝a2＋a12＝2a7， 又a2＋a7＋a12＝24， 所以a7＝8.

13?a1＋a13?

所以S13＝＝13×8＝104.

2答案：104

(2)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( ) A．9 C．16

B.12 D．17

解析：选A 由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.

题型四、等差数列前n项和的最值

【例4】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值． [解] 法一：由S17＝S9，得

17×?17－1?9×?9－1?

25×17＋d＝25×9＋d，

22解得d＝－2，

n?n－1?

∴Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.

2由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：先求出d＝－2(同法一)，

??an＝25－2?n－1?≥0

∵a1＝25＞0，由?，

?an＋1＝25－2n＜0?.