内容发布更新时间 : 2024/10/22 15:25:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高中数学基本不等式问题求解十例

一、基本不等式的基础形式

1．a2?b2?2ab，其中a,b?R，当且仅当a?b时等号成立。 2．a?b?2ab，其中a,b??0,???，当且仅当a?b时等号成立。

a2?b2?a?b?23．常考不等式：，其中a,b??0,???，当且仅当a?b时等号成立。 ???ab??112?2??ab二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若ab是定值，那么当且仅当a?b时，?a?b?（2）和定积最大：若a?b是定值，那么当且仅当a?b时，?ab?例题1：若实数a,b满足2?2?1，则a?b的最大值是． ab2min?2ab。其中a,b??0,??? ?a?b?，其中a,b?R。 ???2??2max?2a?2b?1ab2?2????2a?b?2?2?a?b??2，解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：?4?2?当且仅当a?b??1时取等号。 变式：函数y?ax?12若点在直线mx?ny?1上，则mn的最大值为______。 (a?0,a?1)的图象恒过定点A，解析：由题意可得函数图像恒过定点A?1,1?，将点A?1,1?代入直线方程mx?ny?1中可得m?n?1，明1?m?n?1显，和为定，根据和定积最大法则可得：mn??，当且仅当时取等号。 m?n???224??x例题2：已知函数f?x??2?212x?2，则f?x?取最小值时对应的x的值为__________． x解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2?12x?2?22x?12x?2?1，当且仅当2x?12x?2?x??1时取等号。

1的最小值为。 x?21解析：由题意可得x?2?0,，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：?1?x?2??x?2变式：已知x??2，则x?

x?2?1?2x?2?x?2??11?2，当且仅当x?2??x?2?1?x??1时取等号，此时可

x?2x?2得x?1?0。 x?2x

≤a恒成立，则a的取值范围是________．

x＋3x＋1

2例题3：若对任意x>0，

解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。xx???a?a??2? x2?3x?1x?3x?1??max解法1：将xx化简可得?x2?3x?1x2?3x?11?x?0?，观察分母，很明显可以得到积为定值，1x??3x根据积定和最小的法则可得：x?111?2x??2，当且仅当x??x?1时取等号。故而可得分式的xxx分母x?1111?x1?a??3?5?0????2?，因此可得：。 ?15x5x?1?3x5??maxx??3xxx化简可得?22x?3x?1x?3x?111fx?x?，令x?0???x?0?，这是一个对??1xx??3x解法2：将勾函数，故而可得f?x??x?11?f?1??2。故而分母x??3?f?x??3?5，代入分式函数取倒数xx可得0?111x1??a????2?因此可得：。 ?15x??35?x?1?3x?max5x问题2：“1”的代换 m?f?x?解题思路：根据f?x???m?0?，对所求内容进行乘除化简即可。 m例题4：若两个正实数x、y满足14y??1，且不等式x?＜m2?3m有解，则实数m的取值范围是。

4xyy??14??x??????41414y???xy?解析：由题意可得??1，左边乘以??1可得：x??，化简可得：

41xyxyy4xy??14?y4x??，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：x???1?1??????4xy4xy4xy????

?x?2y4xy??14?y4xy4x?当且仅当时取等号。故而可得?x??????4。??1????2??2，

4xy4??xy?4xy4xy??y?8不等式x?yy??＜m2?3m有解，亦即m2?3m??x???4，亦即m2?3m?4?0，解得m?4或者44?min?m??1，故而可得m????,?1???4,???。

变式：若x?0，y?0，且12??2，则4x?3y的最小值为__________． 2x?yx?y14??2乘以所求内容可得：2x?y2x?2y解析：由?2x?y??2?x?y??4x?3y，化简题干条件可得?1?14?4??4x?3y????????2x?y?2x?2y?2x?y2x?2y2x?y2x?2y??4x?3y????，化简后可得：

222x?2y4?2x?y???4?12x?2y4?2x?y?2x?y2x?2y4x?3y?，很明显中二者积为定值，根据积定和最?22x?y2x?2y小法则可得2x?2y4?2x?y?2x?2y4?2x?y?2x?2y4?2x?y???2??4，当且仅当??2，

2x?y2x?2y2x?y2x?2y2x?y2x?2y?x?09?4x?3y?亦即?时取等号。此时可得。 ??3min2y??2?问题3：方程中的基本不等式 解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。 12例题5：（2015·湖南高考）若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为__________． ab解析：由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：ab?121222，当且??2??ababab1?12?a?24仅当??b?2a时取等号，化简后可得：ab?22，此时? 5ab?b?24?变式：若lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为__________．

解析：将题干条件化简可得：lg?3x?y??lg?x?y?1??3xy?x?y?1，由题意需要求解xy，故而可知利用不等式x?y?2xy，将条件化简可得：3xy?1?x?y?2xy当且仅当x?y时等号成立，化