内容发布更新时间 : 2024/6/29 16:49:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初中数学竞赛精品标准教程及练习（14）

经验归纳法 一、内容提要

1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如

①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），

三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， …………

归纳出n 位数共有9×10n-1 (个) ③

由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。

2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明） 二、例题 例1

平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2

第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4

………

第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点

由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），

这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］× n?1n(n?1), 即个交点。 22例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数） 解：当n ＝1时，3n＝3, （n＋1）！＝1×2＝2 当n ＝2时，3n＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6 当n ＝3时，3＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24 当n ＝4时，3n＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120 当n ＝5时，3n＝243, （n＋1）！＝6！＝720 ……

猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。 例3 求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。

分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2

x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 …………

由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。 三、练习14 1．

除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位

n

数有＿＿＿＿个。 2．

十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3,四位数

a1a2a3a4记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿ 3．

由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43 ＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=( )2。

4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）

10个15个22n个1n个22；2

①111?1－222?2＝（＿＿＿）；111?1－222?2＝（ ＿＿）。 ????????????????22 ②111＝（＿＿＿＿）；＝（＿＿＿）?155?5611?1155?56????????????????9位9位n位n位5． ①

把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100

这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少

6．计算

1111＋＋＋…＋＝ 11?1212?1313?1419?20 （提示把每个分数写成两个分数的差） 7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大

小.

8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个 小长方形，那么这24个长方形中，

两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。

本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个

9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。

本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。

10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。

11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。 三、练习14参考答案： 1. 2.

3，30，3×102，3×10n-1 10n-1a1+10n-2a2_＋……+10an-1+an

2224. ①333332, 333 ②， ?33?3433?34?????????????

n个9位n位5.①192位，②901位（50个18，加上1）