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2019届湖南省长郡中学高考押题试卷（一）
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，若全集，，则 A. B. C. D.
2. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则
A. B. C.
D.
3. 若，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设平面向量，
，，则下列说法正确的是（ ）
A.是
的充分不必要条件
B.与的夹角为 C.
D.与的夹角为
5. 已知双曲线的离心率为
，且经过点
，则双曲线的实轴长为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则二项式的展开式中的常数项为（ ）
A. B. C.
D.
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7. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框
图，若输入，的分别为，，则输出的
A. B. C. D.
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知
，
，
．当
时，均有
，则实数的取值范围是（ ）
A.
B. C. D.
10. 某旅行社租用、两种型号的客车安排名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为人和人，租金分别为元/辆和元/辆，旅行社要求租车总数不超过辆，且型车不多于型车辆．则租金最少为（ ） A.元 B.元 C.元 D.元
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◎
11. 已知函数
的图象过点
，且在上单调，同时
的图象向左
平移个单位之后与原来的图象重合，当，，且
时，
，则
A. B. C. D.
12. 已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）
A.至少存在两个点使得
B.对于任意点都有 C.对于任意点都有 D.存在点使得
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知平面向量，
则事件“
”的概率为________．
14. 已知抛物线
的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且
，则
________．
15. 如图所示，在平面四边形
中，
，
，
，
，
，则
________．
16. 在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和为，， （1）求的通项公式； （2）记
，数列
的前项和为，求证：
．
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的
中点．．
（1）求证：平面平面
；
（2），在线段
上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．请说明理由．
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19. 某房产中介公司
年月日正式开业，现对其每个月的二手房成交量进行统计，表示开业第个月的
二手房成交量，得到统计表格如下： （1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量，，如果
，那么相关性很强；如果，那么相关性一般；如果，那么相关性较
弱．通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合与的关系．计算
,…,的相关系数，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系．
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
，并预测该房产中介公司
年月份的二手房成交量．
（3）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获千元奖金；抽中“二等奖”获干元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．
已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据：
．
参考公式：，
20. 设椭圆
的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若＝上存在两点，，椭圆上存在两个点，，满足：，，三点共线，，，三点共线且，求四边形的面积的最小值．
21. 已知． （1）求的单调区间；
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◎（2）设，，为函数的两个零点，求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系
中，曲线的参数方程为
（
，为参数），在以为极点，轴的
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的
参数
，射线
与曲交于点
（1）求曲线，的直角坐标方程；
（2）若点，在曲线上的两个点且，求
的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求的解集；
（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围
参考答案与试题解析
2019届湖南省长郡中学高考押题试卷（一）
数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.
【答案】 B
【考点】 补集及其运算 【解析】
求出集合的等价条件，结合补集的定义进行求解即可． 【解答】
，
∵ ， ∴ ， 2.
【答案】 D
【考点】 复数的运算 【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于求得值．
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∴ ．
3.
【答案】 C
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 由已知可得
，两边平方变形得：，说明
，
，则
，展开后得答案．
【解答】
∵ ，且，
∴
，两边平方变形得：
， 则
．
4.
【答案】 B
【考点】 充分条件
命题的真假判断与应用
数量积表示两个向量的夹角 【解析】
由向量垂直的条件：数量积为，解方程可得，运用充分必要条件的定义可判断；由模的公式可判断；由向量的夹角公式可判断，． 【解答】 平面向量，，
，
可得，解得
，
则
是
的充分必要条件，错； ，错； ，可得
，
，
则，的夹角为，对；
可得，
，
则
，的夹角为，错；
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◎