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生活的色彩就是学习

第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

(对应学生用书第13页)

[基础知识填充]

1．奇函数、偶函数

图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反．即f(－x)＝－f(x)，反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数一定是奇函数．

图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)＝f(－x)，反之，满足

f(－x)＝f(x)的函数一定是偶函数．

2．奇(偶)函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)． (2)在公共定义域内

①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若函数f(x)是奇函数且x＝0处有定义，则f(0)＝0.

3．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

4．函数的对称性常见的结论

(1)函数y＝f(x)关于x＝

a＋b2

对称?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)．

特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)； 函数y＝f(x)关于x＝0对称?f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．

(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.

特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数y＝f(x)关于(0,0)对称?f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数?函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；

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y＝f(x＋a)是奇函数?函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．

[知识拓展]

1．函数奇偶性常用结论

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；

y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝

1

fx1

，则T＝2a(a＞0)． ，则T＝2a(a＞0)．

[基本能力自测]

(3)若f(x＋a)＝－fx1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )

(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( ) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( ) (5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√

2．已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )

1

A．－

31C. 2

B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， 11

∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]

33

3．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )

A．f(x)＝x－1

B．f(x)＝x＋x

2

2

2

1

B. 31D．－

2

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C．f(x)＝2－2

D [D中，f(－x)＝2＋2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．]

4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )

A．－1 C．1

B．0 D．2

－xx－xD．f(x)＝2＋2

xx－xB [∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，

又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]

5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x＋x，则f(2)＝________. 12 [法一：令x＞0，则－x＜0. ∴f(－x)＝－2x＋x.

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＝2x－x(x＞0)． ∴f(2)＝2×2－2＝12. 法二：f(2)＝－f(－2) ＝－[2×(－2)＋(－2)]＝12.]

(对应学生用书第14页)

3

2

3

2

3

23

2

2

3

判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝1－x＋x－1； (2)f(x)＝ln(x＋1＋x)； (3)f(x)＝(x＋1)2

222函数奇偶性的判断 1－x； 1＋x??x＋x，x＞0，

(4)f(x)＝?2

?x－x，x＜0.???x－1≥0，

[解] (1)由?2

?1－x≥0，?

2

得x＝±1，

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，

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