内容发布更新时间 : 2024/12/26 4:09:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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第二章 解析函数
1-6题中：
（1）只要不满足C-R条件，肯定不可导、不可微、不解析 （2）可导、可微的证明：求出一阶偏导ux,uy,vx,vy，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R条件。
（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。
（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R条件则肯定不是解析函数。 解析函数求导：f?(z)?ux?ivx
4、若函数f(z)在区域D上解析，并满足下列的条件，证明f(z)必为常数。
f?z?0z?D?（1）???证明：因为f(z)在区域上解析，所以。
令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，即由复数相等的定义得：
?u?v?u?v?u?v?,??f?(z)??i?0。 ?x?y?y?x?x?y?u?v?u?v??0,???0。 ?x?y?y?x所以，u(x,y)?C1(常数)，v(x,y)?C2(常数)，即f(z)?C1?iC2为常数。
5、证明函数在z平面上解析，并求出其导数。
xxe(xcosy?ysiny)?ie(ycosy?xsiny). （1）
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f?z??u?x,y??iv?x,y?ex(xcosy?ysiny)?iex(ycosy?xsiny).证明：设=
u?x,y??ex(xcosy?ysiny)v?x,y??ex(ycosy?xsiny)则，
?v?u?excosy?ysinyex?xcosyex?ex(xcosy?ysiny)?excosy?x；?y
?u?v??ex(xsiny?siny?ycosy)?ex(ycosy?xsiny?siny)?y； ?x
满足
?u?v?u?v?,??。 ?x?y?y?x即函数在z平面上(x,y)可微且满足C-R条件，故函数在z平面上解析。
u?x2?y2?xy，8、（1）由已知条件求解析函数f(z)?u?iv，f(i)??1?i。
解：
ux?2x?y,uy??2y?x
由于函数解析，根据C-R条件得
ux?vy?2x?y
于是
y2v?2xy???(x)
2其中?(x)是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得
vx?2y???(x)??uy?2y?x，
x2所以??(x)??x，即?(x)???c。
2于是
y2x2v?2xy???c
22又因为f(i)??1?i，所以当x?0,y?1，时u?1，v??c?1得c?
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所以
y2x21f(z)?x?y?xy?i(2xy???)。
222229、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数则它就不能做为解析函数的实部或虚部。
10、提示：求出实部和虚部对x，y的一阶偏导，若不满足C-R条件则肯定不是解析函数，若满足C-R条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为解析函数。
14.若z?x?iy，试证：（1）sinz?sinxchy?icosxshy。 证：sinz?sin(x?iy)?sinxcosiy?cosxsiniy
eiiy?e?i(iy)eiiy?e?iiysinx?cosx22i= ey?e?yei(iy)?e?ysinx?icosx22= ?sinxchy?icosxshy
18、解方程 （1）ez?1?i3 解：e?1?i3?2ezi(?2k?)3? 其中k?0,?1,?2,......
则
z?Ln[2ei(?2k?)3?]?ln2?i(?3?2k?)
（2）lnz?解：
i?。 2lnz?lnz?iargz?0?i?2
即
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z?1,argz??2
设
z?x?iy
x?y?122，
arg?x?iy???2
得x?0,y?1，即z?i。 20、
（2）3i?eiLn3?eiln3?cos(ln3)?isin(ln3)试求(1?i)i,3i,ii,e2?i及Ln(1?i)。 解：（1）(1?i)i?eLn[(1?i)]?eiLn(1?i) 因为
Ln(1?i)?Ln[2ei(?2k?)4i?]?ln2?i(?4?2k?)
所以
(1?i)?eiiLn(1?i)?eiln2?(?2k?)4??e2ln2e?(?2k?)4?
k?0,?1,?2,......
（3）ii?eiLni
Lni?Lneii(?2k?)2??i(??2?2k?)
i?eiLni?e?(?2k?)2
k?0,?1,?2,......
（4）e2?i?e2ei?e2(cos1?isin1) （5）Ln(1?i)?Ln[2ei(?2k?)4?]?ln2?i(?4?2k?)
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22，求证limsinz?1 z?0zsinzsin(x?iy)?limz??x,y??zx?iy 证: z?x?iy(x,y,均为实数)，所以
limsiniyeiy?e?iylim??1iy??iyiyz当x?0则极限趋近于z轴，有
当y?0时，则极限趋于z轴，有lim故limsinz?1。 z?0zsinx?1， x?0x
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