内容发布更新时间 : 2024/6/27 1:06:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 随机事件与概率－教案

引言 在这一章将介绍：

·《概率》中用到的基本概念和术语， ·随机事件之间的关系以及概率的基本关系式,

·再介绍应用非常广泛的两类概率问题：等可能概型、n重贝努利概型. 这一章是学习《概率》的基础.

§1.1 随机事件 【教学目的】

1.理解《概率》研究的对象是随机现象的统计规律性，随机现象的特点具有不确定的一面，即试验前哪一个结果发生不知道，也有确定性的一面，即统计规律性，也称频率稳定性.

2.理解随机试验的条件，样本点、样本空间术语.

3.理解随机事件术语，掌握随机事件的关系、运算与运算律，注意 （1）从发生的角度清楚事件的关系与运算的涵义； （2）熟练掌握由简单事件表示复杂事件的方法； （3）掌握事件关系的常用变形，如

A?B?A?AB?B?AB，A?AB?AB，A?B?A?AB?AB，A?S?A；

（4）理解事件互斥与对立不等价. 【教学内容】

一、随机现象与频率稳定性

确定性现象

◆ 自然与社会存在两类现象 不确定性现象 随机现象 其他

随机现象的特点 不确定性——事情发生之前，不清楚那一个结果会发生. 确定性——频率稳定性，也称作统计规律性.

《概率论与数理统计》研究的对象即随机现象的统计规律性.

◆ 又《概率论》是研究概率的，“概率”与“统计规律性”什么关系？以后解决. 二、随机试验、样本空间

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1．随机试验

定义1 对随机现象作实验或观察，且具有如下三个特点，统称为随机试验，记作E. （1）可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的可能结果不唯一，全部可能结果已知； （2）试验前不能确定哪一个结果发生.

注 关于“相同”当然只能是相对而言，事实上正是因为有很多不确定因素的影响，才造成了结果的不确定性.

2．样本点 样本空间

·随机试验的每一个结果称为样本点，记作e、ω等.

·全部可能结果，即全体样本点组成的集合，称为样本空间，记为S，即S={e}. 例1 看如下随机试验与相应的样本空间. （1）E1：掷一颗色子，观察出现的点数.

（2）E2：一枚硬币掷两次，观察朝上一面的图案.记字面朝上为正，朝下为反. （3）E3：记录120急救站一个小时内接到的呼叫次数. （4）E4：对灯泡做破坏性试验，记录灯泡的寿命. （5）E5：按户调查城市居民食品、穿衣的支出.

其中，S1，S2的样本点数为有限个，称为有限样本空间. S3，S4，S5中样本点数为无限个，称为无限样本空间. 又S3中样本点可按一定顺序排列，简称可列样本空间.S4，S5中样本点则不可排列.

三、随机事件的概念、关系与运算 1．随机事件

◆随机试验E的样本空间S的子集，称为E的随机事件，通常记为A、B、C等. ◆随机事件发生是常用的一个术语，规定：

随机事件A发生的充分必要条件是随机试验时A中的一个样本点出现.

利用符号“?”表示“充分必要”也称“等价”，则随机事件发生的规定可以简记为：

随机事件A发生?随机试验时A中的一个样本点出现.

◆特殊的随机事件：

基本事件：一个样本点构成的事件，记作{e}或e； 必然事件：每次试验都必然发生的事件，即样本空间S； 不可能事件：每次试验都不会发生的事件，即空集φ. 2．事件间的关系与运算

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* 事件是集合，因此事件的关系与运算即集合的关系与运算,不是新内容.在《概率论》中注意从发生的角度去理解事件的关系与运算.

设A,B,A1,A2,,An等均为随机事件.

（1）事件的包含

从事件发生角度定义 B?A?若事件A发生，则事件B一定发生. （2）事件相等 ——让学生自己给出发生定义.

从发生角度定义 事件A?B?若A发生则B发生，若B发生则A发生. （3）和事件 从发生角度理解

和事件An 个事件A1,A2,B发生?事件A发生或事件B发生(常称作事件A、B至少有一个发生）.

,An的和记作

nAk?A1k?1nA2An，

,An中至少有一个发生.

从发生角度理解 和事件

k?1Ak发生?事件A1,A2,的和记作

无限可列事件A1,A2,,An,?An?1?n?A1?A2??，

（4）积事件

从发生角度理解 积事件AB发生?事件A发生且事件B发生（即事件A、B同时发生）. n个事件的积事件记作

?Ak?A1?A2???An，或 ?Ak?A1A2?An

k?1k?1nn无限可列事件的积记作

??An?A1n?1?A2An或

n?1An?A1A2An

从发生角度理解 积事件

n?1An发生?事件A1,A2,,An,同时发生.

（5）差事件

从发生角度理解 差事件A-B发生?A发生且B不发生. （6）事件互不相容（也称事件互斥）

从发生的角度定义 事件A、B互不相容?A、B不会同时发生.

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若事件A1,A2,简称A1,A2,,An满足AiAj??(i?j,i,j?1,2,,n)，则称事件A1,A2,,An两两互不相容，也

,An为互不相容事件.

（7）事件的对立

如果事件AB??且A?B?S，则称事件A、B互为对立事件，也称A、B互为逆事件，记B?A，A?B. 从发生的角度定义 A,B为对立事件?每次试验事件A,B有且仅有一个发生. 描述事件关系的文氏图：

注 由随机事件的关系与运算容易得到下面结论：

1°如果随机事件 A、B相互对立，则A、B互不相容，反之不一定成立. 2° ??AB?A(或B)?A?B?S； 如果A?B,B?C,则A?C；

A??A,A若

A?A,AS?S； A???,AA?A,AS?A；

A?B,则AB?B,AB?A,A?B.

3°几个常用变形

由图1.7(1)、(2)可知：

AB?A?AB?B?AB，A?AB?AB， A?B?A?AB

因为事件A–B发生表示A发生且B不发生，也即A发生且B发生，所以又有

A?B?AB， A?S?A

4°运算顺序应该是先逆，后积，最后是和与差.

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例2 甲、乙、丙三位射手向同一目标射击一次，设A、B、C分别代表甲、乙、丙命中目标事件. （1）用符号表示下列事件：①目标被击中；②目标被击中一次. （2）用文字叙述下列事件：①AB3．事件的运算律 （1）交换律 A（2）结合律 AACBC；②AB；③AB.

B?BA，AB?BA；

(BC)?(AB)C，A(BC)?(AB)C

（3）分配律 A??B?C???A?B???A?C?；

A(BC)?(AB)(AC).

（4）德·摩根律（De·Morgan） AB?AB，推广A1B，推广A1A2A2An?A1An?A1A2A2An； An.

AB?A例3 从一批产品中任取两件，观察其中的合格品数，记

A?（两件产品都是合格品），Bi=(第i件是合格品) i?1,2，试分析： （1）A= (两件产品都不是合格品）对否？

（2）如何用 B1、B2表示A、A？ 例4 下列结论成立否？ （1）AB?C?A(B?C)；

C.

（2）A?(B?C)?A?B【作业】1.思考补充题P1一、1、2，研究的对象是什么？

2.教材P32习题1（2）、（4）；2（1）、（3）、（4）、（6）、（7）

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