内容发布更新时间 : 2024/9/20 16:50:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第2讲 空间几何体的表面积与体积

一、选择题

1.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部

的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ) A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

π16解析 设米堆的底面半径为r尺，则2r＝8，所以r＝π. 112π?16?2320

?π?·所以米堆的体积为V＝4×3π·r·5＝12·5≈9(立方尺). ??320

故堆放的米约有9÷1.62≈22(斛). 答案 B

2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( ) A.2 3

C.2

9B.2 D.3

1

解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝2(1＋2)×21

＝3.∴V＝3x·3＝3，解得x＝3. 答案 D

3.(2017·合肥模拟)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )

A.1＋3 C.1＋22

B.2＋3 D.22

解析 四面体的直观图如图所示.

侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2. 设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，又SO?平面SAC，平面SAC∩平面ABC＝AC，

∴SO⊥平面ABC，又BO?平面ABC，∴SO⊥BO. 又OS＝OB＝1，∴SB＝2，

1

故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×23

×2×2＋2×4×(2)2＝2＋3. 答案 B

4.(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( ) A.36π

B.64π

C.144π

D.256π

解析 因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O11

－ABC的体积取得最大值.由3×2R2×R＝36，得R＝6.从而球O的表面积S＝4πR2＝144π. 答案 C

5.(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为( ) A.1∶2 C.1∶6

B.1∶8 D.1∶3

解析 设点P，N在平面ABCD内的投影分别为点P′，N′，则PP′⊥平面ABCD，NN′2NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，则在△BPP′中，由BN＝2PN得PP′＝3. 1

V三棱锥N－PAC＝V三棱锥P－ABC－V三棱锥N－ABC＝3S△ABC·PP′－

111

NN′＝3S△ABC·(PP′－NN′)＝3S△ABC·

3S△ABC·

11PP′＝PP′，V39S△ABC·

三棱锥D－PAC＝V

1

＝PP′，又∵四边形ABCD三棱锥P－ACD

3S△ACD·

V三棱锥N－PAC1

是平行四边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴＝.故选D.

V三棱锥D－PAC3答案 D 二、填空题

6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.

11

解析 设新的底面半径为r，由题意得3πr2·4＋πr2·8＝3π×52×4＋π×22×8，解得r＝7. 答案

7

7.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.

解析 依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋（2）2＝2， 4π34π解得R＝1，所以V＝3R＝3. 4答案 3π

8.(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.

解析 由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.∴