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1995年A题飞行管理问题

A题 一个飞行管理问题

在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角.以避免碰撞.现假定条件如下：

1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度 3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里

4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上 5）最多需考虑6架飞机

6）不必考虑飞机离开此区域后的状况.

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型.列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度）.要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小. 设该区域4个顶点的座标为（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160) 记录数据为：

飞机编号 横座标X 纵座标Y 方向角（度） 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注：方向角指飞行方向与X轴正向的夹角.

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.

参考解答

1． 问题分析

根据题目的条件，可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域，顶点

①

（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160).各架飞机的飞行方向角为飞行方向与x轴正向夹角（转角）.根据两飞机不碰撞的标准为二者距离大于8km，可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4km为半径的圆状物体（每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定）.这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题.两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可. 2.模型假设

(1)飞机进入区域边缘时,立即作出计算,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变; (2)每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;

(3)忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响);

(4)新飞机进入空域时,已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适,不会碰撞; (5)对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的. 3.模型的建立 (1)圆状模型.

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由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究.两圆不相交,则表明不会发生碰撞事故;若两圆相交,则表明会发生碰撞事故.为了研究两飞机相撞问题,采用相对速度作为研究对象,因为飞机是否相撞的关键是相对速度,图10-3给出任意两架飞机间的关系 其中符号含义如下:

i,j---第i,第j架飞机的圆心;

aij---第i架飞机与第j架飞机的碰撞角,是两圆的切线交角中指向圆的那个角的一 半,aij=aji;

υij---第i架飞机相对于第j架飞机的相对飞行速度; lij---第i架飞机与第j架飞机的圆心距;

βij---第i架飞机对于第j架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角.规定以第i架 飞机为原点,i→j连线从i指向j为正方向,逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角; AB,CD为两圆的公切线,mi//AB,ni//CD. 另外再引入记号:

θi---第i架飞机的飞行方向与直角坐标xoy中x轴正向的夹角(转角); xi---第i架飞机在坐标xoy中的位置矢量; υi---第i架飞机的飞行速度矢量.

由图10-3中的关系得到两飞机不相撞(两圆不相交)的充要条件是|βij |>aij.当|βij |≤aij时,则通过调整两飞机的方向角θI, θj,使飞机不相撞. (2)决策目标.

题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小,这个尽量小是针对每架飞机而言,同时也要求整体满意程度(即对管理层而言,应使每架飞机的调整都尽量的小).因此构造目标函数时,可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言,其调整量可满意,则由假设(5)对其余飞机调整量均可满意.即要求每架飞机的调整量都小于某个数θ(θ≥0).故可取目标函数为求其最小值minθ.

(3)由圆状模型导出的方程.

首先讨论相对飞行速度方向角βij的改变量与第i,第j两架飞机飞行方向角改变量Δθi, Δθj的关系.

由题目条件知,对第i架飞机|υi|=800=A(km).于是可用复数表示飞机速度υi=Ai?i.

i?1i?设第i,j两架飞机飞行方向改变前的速度分别为?1i?Aei,?j?Aej,改变飞行方向后的速

度为

i(?i???i), ?2?2j?Aej?Aei(?j???j)

则飞行方向改变前后的相对速度分别为

11?1(ei(?i???i)) ij??i??j?A2?ij??i2??2(ei(?i???i)?ej?A2?iji(?j???j))

?1ij?A(ei(?i???i)?eA(ei(?j???j))i(?i???i))

=

cos(?i???i)?sin(?i???i)?cos(?j???j)?sin(?j???j)cos?i?isin?j?cos?j?isin?j

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2sin?i???i??j???j2sin(sin2ei?i???i??j???j(sin2?i??j2?icos?icos?i??j2?i???i??j???j2))=

?i??j

sin?i???i??j???jsin2?i??j22?i??j2?i???i??j???j2?j??j=

ei2sin?i???i??j???j??i???j=

sin ei2

2即?ij与?1ij交角相之差为

.将其归纳为

2定理 对第i,j架飞机,其相对速度方向βij的改变量Δβ和的一半

. 2 由题目的要求调整飞行方向角时不能超过30°即

??i???j??i???jij

等于两飞机飞行方向角改变量之

|Δθi|≤30 , i=1,2,…,6

要保证调整飞行方向后飞机不碰撞，应有 |βij+Δβij |>aij

由前面构造的目标函数为 minθ 0≤θ≤30

总结以上得如下优化模型

minθ （1）

??i???js.t. |βij+Δβij |>aij, ??ij? (2)

2|Δθi|≤θ, I=1,…,6 (3) |Δθi|≤30, I=1,…,6 (4) 0≤θ≤30 (5) (4)线性规划模型.

将上述优化模型进行化简,可转化为线性规划模型. 当βij>0时,(10.2)式可化为βij+Δβij>aij; 当βij<0时,(10.2)式可化为βij+Δβij>-aij;

由于Δθi可正负,为使各变量均为正,引入新的变量??i1,??i2使 Δθ

i=

??i1-??i2 , 0≤??i1≤30 , 0≤??i2≤30

于是条件(3),( 4)可化为 ??i1-??i2≤30 ??i1-??i2≥-30 ??i1-??i2≤θ

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