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函。

2.2几种常见的线性算子和线性泛函的例子：

① 相似算子Tx=αx 当α=1时为恒等算子；当α=0时为零算子；

（Tx）② P[0，1]是[0，1]上的多项式全体，定义微分算子：（t)=ddtx(t)，

若t0∈[0，1]，对?x?P[0，1]，定义f（x）=x′（t0）则f是P[0，1]上的线性泛函。

③积分算子：x∈C[a，b] Tx（t）=∫ｔａx(?)d? 由积分线性性质知T为线性算子，

若令f(x)=∫ｂａx(?)d?则f是C[a，b]中的线性泛函

④乘法算子：x∈C[a，b] Tx（t）=tx（t） ⑤Rｎ 中的线性变换是线性算子 3.有界线性算子

3.1 定义：设X和Y是两个线性赋范空间，T是X的线性子空间D（T）到Y中线性算子，

如果存在常数c，使对所有x∈D（T），有：║Tx║≤c║x║，则称T是D（T）到Y中的线性有界算子，当D（T）=X时，称T为X到Y中的线性有界算子，简称为有界算子。否则，称为无界算子。

3.2定理1：设T是线必性赋范空间X到线性赋范空间Y中的线性算子，则T为有界的充要

条件是T是X 上的连续算子。（重要定理要会证明）

3.3定理2：设X是线性赋范空间，f是X上线性泛函，f是X上连续泛函的?f的零空间

?（f）是X中的闭子空间。（重要定理要会证明）

（若f为有界线性算子，则结论不成立，同时这也是证明泛函连续常用的方法。） 3.4扩展

3.4.1 ‖TX‖《C‖X‖，则T是有界线性算子。 3.4.2 定理：T为有界算子?T是X上的连续算子

（证明有界方法：①‖T‖＜∞ ②定义法 ③定理法） 3.4.3例子：

①(TX)（t）=?R(t,?)d?有界；

ab 13

②(TX)（t）＝

ddx （X（t））无界。（记住结论）

联系：只有X、Y是两个赋范线性空间，并且满足一定条件下，才能形成T是有界线性算子 4.共轭空间

4.1定义：连续线性泛函全体所成的空间为共轭空间， 4.2性质：①任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。

②当Y是巴拿赫（Banach）空间时, ?(X→Y)也是巴拿赫Banach空间。 （注：巴拿赫Banach空间是完备的赋范线性空间）

4.3例子：(记住结论)

?11??L1 ?＝l?但(l?)??l1；同样，?=L?但（L）（l）（L）①

P?＝Lq，其中1+1＝1 （L）②

pq2?＝l2 ③（l）联系：共轭空间是线性泛函和赋范线性空间的基础上形成的，因此共轭空间是它们的后续。 全部知识的联系：度量空间?映射?线性泛函；线性空间?赋范线性空间?有界线性算

子和连续线性泛函?共轭空间。完备化的有（完备的度量空间和完备的赋范线性空间即巴拿赫空间）。从以上的知识可以知道一般情况下证明的有定义及定理，计算就大约只有求范数并且一般都是证明左右互相包含即可。

参考文献：[1]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础[M].

北京：高等教育出版社，2010，（3）.

[2]孙清华，侯谦民，孙昊.泛函分析内容、方法与技巧[M].湖北：华中科技大学

出版社，2006，（3）.

[3]王宗尧，薛以锋，钱张军.应用泛函分析[M].上海：华东理工大学出版社，2002. [4] 李大华.应用泛函简明教程[M].湖北：华中科技大学出版社，1999，（4）.

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