内容发布更新时间 : 2024/6/18 20:27:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

题型一 线性方程组解的基本概念

?x1?x2?ax3?3?【例题1】如果α1、α2是方程组?2x1?3x3?1的两个不同的解向量，则a的取值如何？

??2x?ax?10x?4123?解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，

?a3?1?1?a3??1?1?????0?31???022a?3?5? 对增广矩阵进行初等行变换： ?2??2a104??002a2?3a?14?5a?10?????易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。

【例题2】设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）, 3α1+α2= （2，4，6，8）,求方程组Ax=b的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）, 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）,

由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，

T?1?故Ax=b的通解是?,0,0,0??k?0,2,3,4?

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【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11），ξ2=（1，- 5，13，0），ξ3=（-7，-9，24，11）是方程组

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?2x1?a2x2?3x3?a4x4?d1??3x1?b2x2?2x3?b4x4?4的三个解，求此方程组的通解。 ?9x?4x?x?cx?d23443?1分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。

解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为

η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）, η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。 总结：

不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。

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题型2 线性方程组求解

?1?2?1?2【例题4】矩阵B ???00??1?210011?13?2?x1?x2?x3?x4?x5?00??3x?2x?x?x?3x?0?0??12345的各行向量都是方程组?的解向?x?2x?2x?6x?00345?2??0??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0量，问这四个行向量能否构成上方程组的基础解系？若不能，这4个行向量是多了还是少了？若多了如何去掉，少了如何补充？

?1?3解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵A???0??5r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量

1214112311??1??1?3??0?26??0??3?1??00?1?1?5??1226??A1

0000??0000?α1=（1，-2，1，0，0）, α2=(1,-2,0,1,0), α3=(5,-6,0,0,1),

B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。

题型3 含参数的线性方程组解的讨论

1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解； 2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论 （1）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解； （2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。

一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解； 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解： 1.初等行变换法

2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。

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?x1?a1x2?a12x3?a13?23?x1?a2x2?a2x3?a2【例题5】设线性方程组? 23x?ax?ax?a32333?1?x?ax?a2x?a342434?1（1） 证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解；

（2）设a1= a3 =k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1），β2=（1，1，-1）是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。

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解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。

23??x1?kx2?kx3?k（2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为? 23??x1?kx2?kx3??k系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为

X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。） 题型4 线性方程组的公共解、同解问题

情况1.已知两具体齐次线性方程组，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组??x?0的所有非零解，即为所求。

【例题6】设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ） ，求： （1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系； （2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。

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?A??B??x1?x2?x3?0?x1?x2?0 Ⅰ:?;(Ⅱ)??x2?x4?0?x2?x3?x4?0解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1），α2=（0，0，1，0）；

同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1），α4=(-1,0,1,1)

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?x1?x2?0?x?x?0?24(2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：?

?x1?x2?x3?0??x2?x3?x4?0?1100??1???010?10???将其系数矩阵进行初等行变换??1?110??0???01?11???0得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）

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010001??0?1?

1?2??00?于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为 X=k（-1，1，2，1）, k取全体实数。

情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。 【例题7】已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是

α1=（1，2，5，7）,α2=(3,-1,1,7)，α3=（2，3，4，20）， Β1=（1，4，7，1）， β2=（1，-3，-4，2） 。 求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。

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