内容发布更新时间 : 2024/12/25 1:57:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

遇到参数浑不怕 留的导数在人间

利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考 “能力立意”的思想．本文将探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略．

策略一：分离变量法

所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法．

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也还是求最值，并且思路更清晰，操作性更强．

问题1：设函数f(x)?x|x?1|?m，g(x)?lnx．若函数p(x)?f(x)?g(x)有零点，求实数m的取值范围．

解：函数p(x)有零点， 即方程f(x)?g(x)?x|x?1|?lnx?m?0有解， 即m?lnx?x|x?1|有解．令h(x)?lnx?x|x?1|， 当x?(0,1]时， h(x)?x?x?lnx．

2因为h'(x)?2x?211时取到等号． ?1?22?1?0，当且仅当2x?即x?2xx所以函数h(x)在(0,1]上是增函数，所以h(x)?h(1)?0． 当x?(1,??)时，h(x)??x?x?lnx．

2?2x2?x?1(x?1)(2x?1)1???0， 因为h'(x)??2x??1?xxx所以函数h(x)在(1,??)上是减函数，所以h(x)?h(1)?0． 所以方程m?lnx?x|x?1|有解时m?0． 即函数p(x)有零点时实数的取值范围是???,0?．

在上题中使用等号将参数与变量进行连接，得到参数的取值即为等式右侧的值域，转化

为最值进行求解．下面问题2利用不等式进行连接．

问题2：已知函数f?x??x?2ax?1．当x?0时，恒有不等式

2f?x??lnx成立，求实x数a的取值范围．

解: 当x?0时，不等式

f?x?11?lnx等价于x?2a??lnx，即2a?x??lnx， xxx11x2?x?11设g?x??x??lnx，则g??x??1?2??． 2xxxx令g??x??0，得x?单调增，

?1?5??1?5?1?5?时，f?x?单调减，x???时，f?x?，x??0,,??????22???2?g?x?min?1?5?1?5． ?g??5?ln?2??2???1?5511?5??ln，所以实数a的取值范围是???,． ???2222?? ?2a?5?ln一般地,以已知x的范围，求a的范围为例有以下结论： 1）?x,f(x)?g(a)恒成立?f(x)max?g(a) 2）?x,f(x)?g(a)恒成立?f(x)min?g(a) 3）?x,f(x)?g(a)?f(x)min?g(a) 4）?x,f(x)?g(a)?f(x)max?g(a)

问题3：已知函数f(x)?e(2x?1)?ax?a?a?R?，e为自然对数的底数．

x（1） 若存在实数x，满足f(x)?0，求实数a的取值范围；

（2） 若有且只有唯一整数x0，满足f(x0)?0，求实数a的取值范围． 解：（1）由f(x)?0得ex?2x?1??a?x?1?．

；当x?1时，a?当x?1时，不等式显然不成立； 当x?1时，a?记g?x??ex?2x?1?ex?2x?1?x?1x?12.

ex?2x?1?x?1，g?(x)?ex?2x?1??x?1??ex?2x?1??x?1??ex2x2?3x??x?1?2?，

?3?,????， 2???3??3?∴ g(x)在区间???，0?和?,???上为增函数，?0,1?和?1,?上为减函数．

?2??2?33??∴ 当x?1时，a?g???4e2，当x?1时，a?g?0??1．

?2?令g??x??0，解得x????,0?综上所述，所有a的取值范围为???,1??3?24e,????． ??

（2） 由（1）知a?1时，x0?(??,1)，由f(x0)?0，得g(x0)?a， 又g(x)在区间???，0?上单调递增，在?0,1?上单调递减，且g?0??1?a， ∴g??1?≤a，即a≥3233，∴≤a?1.

2e2e当a?4e时，x0?(1,??)，由f(x0)?0，得g(x0)?a，

3?3??3??3?又g(x)在区间?1，?上单调递减，在?,???上单调递增，且g???4e2?a，

?2??2??2???g?2??a5e32∴?，解得3e?a≤.

2g3≥a????3?3??25e?综上所述，所有a的取值范围为?,1??3e,． ?2??2e??分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种．解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中，很多题目都需要用到分离变量的思想，除了基础题目可以使用分离变量，很多压轴题也可以用这种方法去求解．

问题4：已知函数f?x??a?e?x?bx?a,b?R?，其导函数为y?f??x?．

x2（1）设a??1，若函数y?f(x)在R上是单调减函数，求b的取值范围； （2）设b?0，若函数y?f(x)在R上有且只有一个零点，求a的取值范围； 解：（1）当a??1时，f(x)??ex?x2?bx，∴f?(x)??ex?2x?b， 由题意f?(x)??ex?2x?b≤0对x?R恒成立﹒ 由?ex?2x?b≤0，得b≥-ex?2x，

令F(x)?-ex?2x，则F?(x)?-ex?2，令F?(x)?0，得x?ln2．

当x?ln2时，F?(x)?0，F(x)单调递增，当x?ln2时，F?(x)?0，F(x)单调递减， 从而当x?ln2时，F(x)有最大值2ln2?2，

所以b≥2ln2?2． （2）当b?0时，f(x)?aex?x2，由题意aex?x2?0只有一解﹒

x2x2x(2?x) 由ae?x?0，得?a?x，令G(x)?x，则G?(x)?，

eeex令G?(x)?0，得x?0或x?2．

x2???， 当x≤0时，G?(x)≤0，G(x)单调递减，G(x)的取值范围为?0，?4?当0?x?2时，G?(x)?0，G(x)单调递增，G(x)的取值范围为?0，2?，

?e??4?当x≥2时，G?(x)≤0，G(x)单调递减，G(x)的取值范围为?0，2?，

?e?