内容发布更新时间 : 2024/5/9 20:14:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一部分 分离变量法

一、(1) 求解特征值问题

(2) 验证函数系关于内积

正交，并求范数

二、用分离变量法求解定解问题

的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当值. 三、（方程非齐次的情形）求定解问题

时，求和时的

四、（边界非齐次的情形）求定解问题

五、（Possion方程）求定解问题

六、求定解问题：

注意：

1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：

2) 3) 4)

2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；

3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace变换求解。

第二部分 积分变换法

一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题

2??2u2?u,???x??, t?0?2?a2?t?x?????x?? ?ut?0???x?,??u????x?,???x?????tt?0(1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式

(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式

二、用积分变换法求解定解问题

??2u2??x?y?xy,x?1, y?0??3x?1 ?uy?0?x,??ux?1?cosy,y?0??注意：只考应用Fourier变换和Laplace变换求解方程的问题

第三部分 特征线问题

一、判断方程

的类型.

二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中

(1) 若初始位移??x?和初始速度??x?为奇函数，则u?t,0??0 (2) 若初始位移??x?和初始速度??x?为偶函数，则ux?t,0??0 三、请用下列方法求解定解问题

(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解

第四部分 Legendre多项式

一、将f?x??x在区间??1,1?内展成勒让德多项式的级数

2二、在半径为1的球内求调和函数，使

ur?1?3cos2??1

（提示：边界条件仅与?有关，解也同样）

第五部分 Green函数

20、证明：??x??lim???x?（弱），其中

??0?1?,???x???2??0,?x??x??

21、证明：Nlim???22、证明：当

sinNx???x?（弱） Nx时，弱收敛于

23、求??x????0?????在?0,??上的余弦级数，并证明该级数若收敛于??x??? 24、求??x????0?????在?0,??上的正弦级数，并证明该级数若收敛于??x???