内容发布更新时间 : 2024/12/22 18:37:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

用放缩法证明常见的数列不等式

放缩法：

A?B，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使A?C?B，

由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”.

所谓放缩：即欲证常用的放缩技巧：

aa?m ?bb?maa?m已知a、b、m都是正数，并且a?b， ?

bb?m1111111??2???(n?1) （2）?nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n2212????2(n?n?1) （3）2(n?1?n)?n?1?nn?nnn?n?11111111n（4）????????????????1

n?1n?2n?32nn?1n?1n?1n?11111111n1 或????????????????

n?1n?2n?32n2n2n2n2n2111111n???????????????n等等。 （5）1?23nnnnn（1）已知a、b、m都是正数，并且a

例1：设Sn

?1111???.....?，求证：Sn?1 2612n(n?1)111 ??????22223nn1求证：当n?2时，?Sn?2?；

n?1n例2：设Sn?1?

1

变式1：求证：Sn

变式2：设Tn

?1?1117??????? 2232n2411352n?1. ，求证：Tn???????2462n2n?1

例3：已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

1??

(1)证明?an＋2?是等比数列，并求{an}的通项公式；

??

1113

(2)证明＋＋…＋＜.

a1a2an2

…………10分

2