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浅谈一般数列的求和问题

作者：陈盾初

来源：《学周刊》2017年第33期

摘 要：数列求和是高中数学教学内容的一个重点，也是高考重要考点之一，所以掌握数列求和的方法非常重要，需要对各种题型，各种解题策略融会贯通，能够将各个知识点全部击破，从而提高数学成绩。基于此，对数列求和的各种方法做出详细讲解，希望能够帮助学生对数列求和方法有更深刻地掌握，能够对各种题型得心应手，从而提高数学成绩。 关键词：数列；数列求和；高中数学

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）33-0047-02 DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.33.024

数列的求和问题一直是高中数学教学的一个非常重要的知识点，像一些简单的等差数列、等比数列的解题方法比较简单，有一些较为浅薄的题目可以直接用等差数列公式、等比数列公式解答出题目的答案，但是像一些非等差数列和非等比数列就需要改变解题方法，这样的数列问题存在综合性的特点，需要对基础知识有较好地掌握才能够解答出正确答案，下面我针对一般的数列求和方法通过例题简单的讲解。 一、对数列求和方法的认识

我们在进行数列求和的时候通常会用到这几个方法，首先是直接法，直接法用起来简单快捷，非常高效，在做非常简单的题目的时候我们可以用这种方法，另外是公式法，通过前人已经总结出来的规律，我们只需要通过对问题的简单观察，查看是否符合公式要求，可以直接套用公式得出问题的答案，但是这个方法需要我们对有关公式要能够准确记忆，如果不经常运用可能很快就忘记公式，从而不能在遇到问题的时候有效解决，另外除了能够运用之外还需要有深刻的理解，可以在题目多变的时候灵活运用公式，不能够只是死板的将公式记住而不知道变通，所以综合来说，通过公式法来解决数列求和，可以节省我们的解题时间，而且使我们的解题方法更加有效准确。其次是错位相减法，这种方法我们在做有关数列求和问题的时候是我们经常使用的一种方法，在运用这种方法的时候，要对题目仔细分析，再三反思，确定审题正确，而且在写的时候要更加注意，以免出现写错的情况，究其原因是因为一般用到错位相减法的题目项数是非常多的，所以如果没有仔细细心的态度，就很容易出现错误。最后是裂项相消法，这个方法顾名思义，是把一项进行分裂，将其从一项分裂成两项、三项甚至是多项、然后用消除的方法求出前面项的和，这种方法适合的题型非常多，例如：等差型，三角函数型等。这些题型都可以运用这种裂项相消法，因为可以运用的题型非常多，所以对这种方法我们要有具体的了解，将其彻底掌握，从而能够在遇到各种题型的时候，能够灵活地将这种方法运用上去，提高解题效率，下面我针对这几种方法做具体讲解与分析。

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二、直接法

对数列的求和可以直接进行求和。

例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+100的和。

分析：这个题目几乎是在小学一年级的时候就经常是被老师问到的问题，但是当时只是涉及求和问题，并没有引进数列的概念。而这个题目明显是一个等差数列，针对于这个问题，我们可以直接通过高斯求和公式进行求和。

高斯公式：和=（第一项的值 + 最后一项的值）×项数 / 2

解：第一项是1，最后一项是100，所以（1+100）×100 / 2，所以这个题目的最后结果是5050。 三、公式法 （一）等差公式

等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1，3，5，7，9...2n-1。

通项公式为：an = a1+（n-1）×d。首项a1=1，公差d=2。 前n项和公式为：Sn = na1 + n（n-1）d/2 = n（a1 + an） / 2

例题：假设等差数列{an}的前n项和为Sn，而且S2 = 12，S4 = 0，求：{an}的通项公式、前n项的和Sn

分析：从这个题目可以看出这是递减等差数列，可以直接通等差公式进行解题。

解：假设等差数列的第一项是a1，数列公差为d，那么可以得到2a1 + d = 12 和 4a1 + 6d = 0，通过运算，可以知道a1 = 9， d = -6，所以通过an= a1 + （n-1）d可以得出an= 9 - 6 （n- 1） = - 6n + 15，而Sn = na1 + n（n-1）d/2，将a1 带入到其中去可以得到Sn = -3n2+12n。 （二）等比公式

公式：当q=1的时候，Sn=na1，当q≠1的时候，

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Sn=a1（1 - qn）/1-q性质：（1） an = amqn-m （2）若 m + n = p +q ，则 am × an = aq × ap

例题：已知log2x = 1，求x + x2 + x3 +...+xn的前n项和。

分析：从这个题目中可以很快地看出这是等比数列，所以可以直接将等比公式的公式运用在上面。

解：因为log2x = 1，所以x = 2，所以通过求和公式Sn = x + x2 + x3 +...+xn = 2（1-2n） / （1-2）= 2n+1 - 2。 四、错位相减法

例题：求和Sn = 1/2 + 3/22 + ... +（2n - 1）/2n 。

分析：从这个题目可以看到被除数是等差数列，除数是等比数列，所以这个题目可以运用错位相减法。

解：Sn = 1/2 + 3/22 + ... + （2n - 1） /2n ，将这个等式两边同时乘以1/2，得到（1/2） Sn = 1/22 + 3/23 + ... + 2n -3 / 2n + （2n-1） / 2n+1然后将两个等式相减，就可以得到Sn = 3 - （2n+3） / 2n 五、裂项相消法

通过上文对数列求和方法的简单介绍与例题结合，分析了常用的数列求和方法，但是在数列求和上可以用的方法并不仅限于这几种，其他的方法本文就不一一介绍了，希望可以对学生在做数列求和的时候有所帮助。 参考文献：

[1] 邹文桢.浅谈一般数列的求和问题[J].理科考试研究（高中版），2017（1）：32-34. [2] 樊冰清.浅谈一般数列的求和问题[J].教育现代化-知网，2017（5）：103-74.