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第十单元 不等式

考点一 不等式的性质及不等式的解法

1.(2017年山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ).

1????2

A.a+

B.??

??21??

C.a+

1????2

D.log2(a+b)

1????2

【解析】由题意知a>1,0log22√????=1,2??+??>a+>a+b?a+>log2(a+b).故选B. 【答案】B

2.(2016年北京卷)已知x,y∈R,且x>y>0,则( ).

A.->0 B.sinx-siny>0

11????

??2

1

1??1??

C.()-()<0 D.lnx+lny>0

1??21??2

【解析】∵x>y>0,∴<,即-<0,故A不正确.当x>y>0时,不能说明sinx>siny,如x=π,y=,x>y,但sinπy>0,所以()<(),即()-()<0,故C正确.当x=1,y=时,lnx+lny<0,故D不正确.

【答案】C

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12π2

1??2

1??2

1??2

1??2

1??2

11????11????π23.(2016年全国Ⅰ卷)设集合A={x|x-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ).

A.(-3,-) B.(-3,)

32

32

2

C.(1,)

32

D.(,3)

32

【解析】因为A={x|1},所以A∩B={??|

4.(2016年全国Ⅲ卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( ).

A.[2,3]

B.(-∞,2]∪[3,+∞)

323232

C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)

【解析】∵S={x|x≤2或x≥3},T={x|x>0},∴S∩T=(0,2]∪[3,+∞). 【答案】D

考点二 简单的线性规划

2??+3??-3≤0,

5.(2017年全国Ⅱ卷)设x,y满足约束条件{2??-3??+3≥0,则z=2x+y的最小值是( ).

??+3≥0,

A.-15 B.-9 C.1 D.9

【解析】由题意知目标区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z过点(-6,-3)时,故所求z取到最小值为

-15.

【答案】A

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??+??≤2,

22

6.(2016年山东卷)若变量x,y满足{2??-3??≤9,则x+y的最大值是( ).

??≥0,

A.4 B.9 C.10 D.12

【解析】由约束条件画出可行域如图(阴影部分)所示,可知x+y为可行域内的点到原点距离的平方,联立

2

2

??+??=2,222

{解得交点为(3,-1),结合图形可知(x+y)max=(√32+(?1)2)=10. 2??-3??=9,

【答案】C

7.(2016年浙江卷)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域??-2≤0,

{??+??≥0,中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( ). ??-3??+4≥0

A.2√2 B.4 C.3√2 D.6

【解析】画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.

因为直线x+y=0与直线x+y-2=0平行,且直线x-3y+4=0的斜率k=3<1,所以可行域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段AB的长度即为图中的线段EF的长度,所以|EF|=|AB|.联立方程组

??+??=0,??+??=0,{解得点E的坐标为(-1,1);联立方程组{解得点F的坐标为(2,-2).所以??-3??+4=0,??=2,

1

|EF|=√(2+1)2+(?2?1)2=3√2.

【答案】C

??+2??≤1,

8.(2017年全国Ⅰ卷)设x,y满足约束条件{2??+??≥?1,则z=3x-2y的最小值为 .

??-??≤0,

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