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高校自主招生考试数学真题分类汇编全套附答案及解析

试题部分

专题之1、集合、函数和方程

一、选择题。

1．(2010年中南财经政法大学)若函数f(x)=mx+n直线y=x对称,又f(A.(0,+∞)

)=2B.[0,1)

(x≥0)的图象与函数g(x)的图象关于

,g(1)=0,则函数f(x)的值域为

C.(0,1]

D.[0,+∞)

2．(2009年华中科技大学)已知a,b为常数,若f(x)=x2+2x+a,f(bx)=4x2?4x+1,则f(ax+b)>0的解集为

A.{x∈R|x>1}

B.{x∈R|x<1}

C.{x∈R|x≠1}

D.{x∈R|?1

,这里,

XA

3．(2009年复旦大学)定义全集X的子集A?X的特征函数为fA(x)=表示A

X,下列命题中不准确的是 在X中的补集,那么,对A,B?A.A?B?fA(x)≤fB(x),?x∈X C.fA∩B(x)=fA(x)fB(x),?x∈X

B.D.

(x)=1?fA(x),?x∈X (x)=fA(x)+fB(x),?x∈X

4．(2010年复旦大学)设集合X是实数集R的子集,如果点x0∈R满足:对任意a>0,都存在x∈X使得0<|x?x0|

|n∈Z,n≥0},(2)R\\{0},(3){|n∈Z,n≠0},(4)整数集Z中,以0为聚点的集合有

A.(2)(3) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(1)(2)(4)

5．(2010年复旦大学)设集合A={(x,y)|logax+logay>0},B={(x,y)|y+x

B.a>0,a≠1

C.0

D.1

6．(2010年复旦大学)设集合A,B,C,D是全集X的子集,满足A∩B≠?,A∩C≠?,则下列选项中正确的是

A.如果D?B或D?C,则D∩A≠? B.如果D?A,则C.如果D?A,则

∩B≠?,∩B=?,

∩C≠? ∩C=?

D.上述各项都不正确

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7．(2010年复旦大学)对函数f:[0,1]→[0,1],定义f1(x)=f(x),…,fn(x)= f[fn?1(x)],n=2,3,….满足fn(x)=x的点x∈[0,1]称为f的一个n?周期点.现设f(x)=

,则f的n?周期点的个数是

A.2n

B.2n2 C.2n D.2(2n?1)

8．(2011年复旦大学)设a,b∈(?∞,+∞),b≠0,α,β,γ是三次方程x3+ax+b=0的3个根,则总以+,

+,+为根的三次方程是

D.b2x3+2a2bx2+ax?b=A.ax+2abx+bx?a=0 B.bx+2abx+ax?b=0 C.a x+2abx+bx?a=0

0

23

2

2

23

2

2

23

22

9．(2011年复旦大学)设S是由任意n(n≥5)个人组成的集合,如果S中任意4个人当中都至少有1个人和其余3个人相互认识,那么,下面的判断中正确的是 A.S中没有人认识S中所有的人 C.S中至多有2人不认识S中所有的人

B.S中至少有1人认识S中所有的人 D.S中至多有2人认识S中所有的人

10．(2011年复旦大学)下列函数中,在其定义域上不是奇函数的是 A.ln(x+

)

B.x(

+)

C.ln|

|

D.ln(sec x+tan x)

11．(2011年复旦大学)设a为正数,f(x)=x3?2ax2+a2,若f(x)在区间(0,a)上大于0,则a的取值范围是 A.(0,1]

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

=kx2有四个不同的实数解,则k的取值

12．(2011年同济大学等九校联考)若关于x的方程

范围为 A.(0,1)

B.(,1)

C.(,+∞)

D.(1,+∞)

13．(2010年清华大学等五校联考)设 f(x)=eax(a>0),过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,则△PQR的面积的最小值为 A.1

B.

C.

D.

14．(2011年清华大学等七校联考)过点(1,1)的直线l与曲线y=x3x22x+1相切,且(1,1)不是切点,则直线l的斜率是 A.2

B.1

C.

1

D.

2

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15．(2011年复旦大学)设a=()x,b=()x?1,c=lo

x,若x>1,则a,b,c之间的大小关系为

A.a

B.b

二、填空题。

16．(2009年南京大学)已知向量a、b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为,则以3a?b和a+b为

边的平行四边形的面积为 。

三、解答题。

17．(2010年南京大学)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足f(xy)= f(x)+f(y). (1)证明:f()=f(x)?f(y);

(2)f(4)=?4,求f(x)?f()≥?12的解集.

18．(2009年浙江大学)现有如下两个命题:

32

命题p:函数f(x)=x+ax+ax?a既有极大值,又有极小值. 222

命题q:直线3x+4y?2=0与曲线x?2ax+y+a?1=0有公共点.

若命题“p或q”为真,且命题“p且q”为假,试求a的取值范围.

19．(2009年浙江大学)已知a≥,设二次函数f(x)=?a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:对于任意

x∈[0,1],均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤.

20．(2010年浙江大学)设M={x|f(x)=x},N={x|f [f(x)]=x}. (1)求证:M?N;

(2)f(x)为单调递增函数时,是否有M=N?并证明.

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