内容发布更新时间 : 2024/5/18 11:28:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第六章 函数插值
实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x)在一系列点x0, x1,…, xn处的值y0, yi,…, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P(x)作为y = f (x)的近似表达式；或者y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x)去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x)在某些离散点上的函数值：
xyx0y0x1y1x2?xny2?yn （6.1）
插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x)的一种简单的近似表达式，以便于计算点x?xi的函数值f(x)，或计算函数的一阶、二阶导数值。一种常用的方法就是从多项式中选一个Pn(x)，使得
Pn(xi)?yi,i?0,1,2,?,n
（6.2）
作为f (x)的近似。因为多项式求值方便，且还有直到n阶的导数。我们称满足关系（6.2）的函数Pn(x)为f (x)的一个插值函数，称x0, x1,…, xn为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。 这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。 设 x0 < x1< …< xn
记a = x0, b = xn，则 [a, b] 为插值区间。 插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：
Pn(x)?a0?a1x?a2x2???anxn
由插值条件
Pn(xi)?yii?0,1,?,n
得到如下线性代数方程组：
n?1?a0?x0a1???x0an?y0?n?1?a0?x1a1???x1an?y1 ?????1?a?xa???xna?yn1nnn?0
此方程组的系数行列式为
1x0
2x0???nx0D?1x1??1xnx122xnx1nnxn?0?j?i?n?(xi?xj)
此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当xi?xj，i?1,2,?n; j?1,2,?n时，D ? 0，因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。
§2 拉格朗日（Lagrange插值） 1．线性插值 线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式 P1(x) = ax + b 使它满足条件 P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1 （6.3） 其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
图6.1
由解析几何，过两点A、B的直线方程可写为：
P1(x)?y0?y1?y0(x?x0)
x1?x0（点斜式） （6.4）
或改写成
P1(x)?x?x0x?x1y0?y1
x0?x1x1?x0（对称式） （6.5）
容易验证，P1(x)就是所求的一次多项多，称为f (x)的线性插值多项式。
再研究对称式的结构。记
l0(x)?x?x1x0?x1l1(x)?x?x0
x1?x0则（6.5）式可写为
P1(x)?l0(x)y0?l1(x)y1
（6.6）
由于
l0(x0)?1l1(x0)?0l0(x1)?0 l1(x1)?1
因此，l0 (x)与l1 (x)分别是适合函数表
xyx01x10 和
xyx00x11
的插值多项式。这两个插值多项式称作以x0, x1为结点的基本插值多项式。 （6.6）式说明，满足条件（6.3）的一次插值多项式y = P1 (x)可以由两个基本插值多项式l0(x)、l1(x)的线性组合来表示。
例：用线性插值求115 （x* = 10.723805） 解：设y?x，取x0 = 100，x1 = 121
则 y0 = 10 y1 = 11 从而
115?P1(115)?10?11?10(115?100)?10.71428
121?100线性插值也可构造《数学用表》中正弦、余弦、对数等数表的修正项。 2．抛物插值 线性插值计算方便、应用很广，但由于它是用直线去代替曲线，因而一般要求[x0, x1]比较小，且f（x）在[x0, x1]上变化比较平稳，否则线性插值的误差可能很大。为了克服这一缺点，有时用简单的曲线去近似地代替复杂的曲线，最简单的曲线是二次曲线，下面就研究用二次曲线去逼近复杂曲线的情形。 设函数y=f (x) 在给定互异的自变量值x0, x1, x2上对应的函数值为y0, y1, y2，二次插值就是构造一个二次多项式
P2(x)?a0?a1x?a2x2
使之满足
图6.2
又因过三点的二次曲线为抛物线，故又称为抛物插值。注意，线性插值多项式可写为
P2(xi)?yi,i?0,1,2
（6.7）