内容发布更新时间 : 2024/5/23 10:54:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
18、解：由于
y??3x2?3?3(x?1)(x?1) ……2分
所以，函数在[-2，0]上的驻点为x??1 。 ……3分
当x=-1时，y=3 ，而x=--2时，y=--1, x=0时，y=1 ……5分
所以函数的最大值为3，最小值为-1 ……6分
??dy|x?2?(3x2?2ax?b)|x?2?12?4a?b?0 ?dx19、解：根据已知条件得??dy|x?1?3?2a?b??3?dx??1?a?b?c?0?分
?a?解上面方程组得??3?b?0 ??c?2
四、综合题
（1）证：令 F(x)?x?sinxcoxs?x1??2s，inxx2?(0,2) 显然F(x)在区间(0,?2)上连续的，可导的。并且F(0)?0. ……2分
由于
F'(x)?1?cosx 2， 对于任意的x?(0,?2)，F'(x)?0。 所以函数F(x)在区间(0,?2)上单调增函数。 于是对于任意的x?(0,?2)，有
F(x)?F(0?)，0 即为：
x?sinxcoxs
- 11 -
……7分
……4分
……6分
…… 4
（2）证： 令 f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2,则f(0)?0,f'(x)?ln(x?1?x2)?0(x?0)
1?xln (x? 1?x2 )? 1?x2 所以当 x?0 时，
（3）证： 令 f(x)?arctanx?arccotx,则f'(x)?0 ……4分 所以 f(x) 恒为常数， 又f(1)?
（4）证： 因为? (x) 在 [0,1] 上可导，所以f(x)＝(x－1)? (x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。…… 4分
根据拉格朗日中值定理，至少存在一点x0?(0，1)，使f'(x0)?
（5）证：设f(x)?lnx，则f?(x)?f(1)?f(0)??(0) ……8分
1?0?4??4??2，从而f(x)?arctanx?arccotx??2 ……6分
1 ……1分 x对lna?lnb用拉格朗日中值定理得 lna?lnb?f?(?)(a?b)，其中??(b,a) ……4分 而
（6）证：令f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx …… 1分
则f?(x)?ln(1?x)?1?a?ba?ba?ba?baa?b?ln??f?(?)(a?b)??，所以 ……6分 abba?b1 。 …… 3分 21?x- 12 -
因为当x?0时，f?(x)?ln(1?x)?1?1?ln(1?x)?0 ， …… 4分 21?x所以f(x)在(0,??)上是严格单调连续递增函数，并且f(0)?0 ， …… 5分
arctanx故当x?0时，f(x)?0，即ln(1?x)?。 …… 6分
1?x
（7）证：令f(x)?ln(1?x),f?(x)?1 …… 1?x1分
对f(x)?ln(1?x)?ln1 利用柯西中值定理存在
??（0，x)使得f(x)?ln(1?x)?ln1?f?(?)(1?x?1) 即ln(1?x)?x1?? 又由于??（0，x)，xxx1?x?1???x，所以 1 ?x?ln(1?x)?x
（8）证：令f(x)?(1?12x)2?(1?x)
f?(x)?x2?0,(x?0) ……2分 故x?0时,f(x)?f(0)?0即(1?12x)2?(1?x),(x?0) ……5分
从而1?1 2 x? 1?x ……6分
（9）证：令f(x)?x? x36?sinx x2x2x2因为f?(x)?1?2x2?cosx?2sin2x2?2?2(2)?2?0,(x?0) ……4分 - 13 -
…… 3分
…… 4分 6分 ……
x3?sinx ……6分 故x?0时,f(x)?f(0)?0,即x?6
（10）证： 令
F(x)?ln(1?x)?x,(x?0) ……2分 1?x则F(x)在x?0的范围中是可导的 ，且 F(0)?0。
F'(x)?11x??， 1?x(1?x)2(1?x)2对于任意的x?0，有F'(x)?0。
所以函数F(x)在x?0的范围中是单调上升的。 于是，对于任意的x?0，有
F(x)?F(0)?0， 即：
ln(1?x)?x1?x。 ……6分
（11）证：令 F(x)?ln(?1x?)x?x22 ,(x?1) 显然函数F(x)在区间[1,??)上连续并且可导。 且有：F(1)?ln2?12?0。 而且对于任意的x?1，F'(x)?11?x1?x?x2?1?x?0, 所以对于任意的x?1，
F(x)?ln(1?x)?x?x22?F(1)?0， 于是原不等式成立。
（12）证：假设函数f(x)在区间[0,1]上至少存 在两个不同的零点x1,x2(x1?x2)。 - 14 -
2分 ……4分 ……6分 ……4分
……2分 ……
函数f(x)在区间[0,1]上连续，可导。 于是有
f(x1)?f(x2)?0。 ……4分
根据罗尔中值定理，则存在一点??(x1,x2)?[0,1]，
使得
f'(?)?3(?2?1)?0，
显然这是不可能的。所以假设不成立。 ……6分
32（13）证： 令 f(x)?2 x ?3?1 x ,则当 x?1时f'(x)?11x?1x?x2?x2?0 所以 当x>1 时，f(x)>f(1)=0 , 即有 x?1 时， 2 x ?3?1 x ……6分
（14）证： 令f(x)?x?sinxcosx,则f(0)?0,f'(x)?1?cos2x?0(0?x??2) 分
所以当 0?x?? 时 ,f(x)?f(0)?0， 即当 ?20?x?2 时 x?sinxcosx - 15 -
……4分 ……3
.6分
……