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学生姓名 王晓佛 年级 八 学科 数学 授课时间 2014.7.31 教师姓名 钟旭 课时 3 教学课题 二次根式的概念及性质 1. 知道二次根式与数的开平方运算之间的联系，理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目； 2. 了解最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式化成最简二次根式. 二次根式a（a≥0）的内涵；确定二次根式中字母的取值范围；a（a≥0）是一个非负数；2(a)2=a（a≥0）、a=a（a≥0）及其运用． 教学目标 教学重、难点 【教学过程】 一、复习引入 1、什么叫平方根？开平方？ 2、平方根如何表示？ 9. 25164、求下列各数的正平方根： （1）225; （2）0.0001； （3）. 813、求下列各数的平方根： （1）24； （2）0.16； （3）5、根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空： 2cm acm S=(b?3)cm S= 232cm2 直角三角形的斜边长是____________；正方形的边长是____________；等边三角形的边长是_________。 问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 二、探索新知 1．二次根式的定义: 很明显5题中上述得数都是一些正数的算术平方根．像这样表示的算术平方根，且二次根号内含有字母的代数式叫做二次根式。 因此，一般地，我们把形如a (a≥0)的代数式叫做二次根式. “”称为二次根号． 2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 注意：① 二次根式都含有二次根号“”； ② 在二次根式中，被开方数a必须满足a?0，当a?0时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a可以是数也可以是单项式、多项式、分式等代数式； ④ 二次根式a(a?0) 是a的算术平方根，所以a?0. 例1． 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、0、42、-2、x学习必备 欢迎下载 ?2、b(b?0)、 1、x?y（x≥0，y≥0）． x?y”；第二，被开方数是正数或0． ★ 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ：a?1是不是二次根式？a?1呢？ a?1这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；而2x2?2x?数式，应把2,3这些二次根式看作系数或常数项，整个代数式仍看作整式. 例2. 求下列二次根式中字母a的取值范围： （1） ★ 求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零. 例3. 已知x满足2013?3 这类代a?1； （2）1?1； （3） ； （4） (a?3)2. 1?2a3?ax?x?2014?x ，那么x?20132 的值为（ ） A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 3. 二次根式的性质: 2(1)(a)?a(a?0); 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数. (2)a2?a???a(a?0)??a(a?0) 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （）是逆用平方根的定义得出的结论. 上面的公式也★ 注意：（1）二次根式的性质公式可以反过来应用：若（2），则，如：，. 一定有意义； 中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值， 2（3）a不是等于a，而是等于a，再根据a的正、负来进行化简. :( a)2与a2有区别吗？与表示的意义是不同的，中，而表示一个正数a的算术平方根的平方，而中a可以是正实数，0，负实数。但 ，而表与（1）不同点：示一个实数a的平方的算术平方根；在都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，. （2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 2例4. 已知x?2 ，则x?4x?4 的结果是______________ 学习必备 欢迎下载 例5.将A. 根号外的a移到根号内，得 ( ) B. － C. － D. 4. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式. 例6. 在下列二次根式 ， 中最简二次根式有______ 例7. 已知 A. ，则 B. 化为最简二次根式是（ ） C. D. 5.同类二次根式： （1）定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。 注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同. （2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变. 例8. 最简二次根式 与 是同类二次根式，则x等于（ ） A. 0 B.1 C.2 D. 3 例9.与 （a>0，b>0）不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（一化，二找，三合并） （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab=a·b（a≥0，b≥0）； bb（b≥0，a>0）． ?aa（4）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点： ① 观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 ② 在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。