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2019年 天津市大学数学竞赛试题 (理工类) 一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设f(x)是连续函数, 且limf(x)f??4, 则lim?1??? x?01?cosxx?0x??1(x)?xe2.

2x2?3?ax?b , 若 limf(x)?0, 则 a??2, b??4. 2. 设f(x)?x??x?2?x?1x3. ?e??lnx?dx? elnx?C.

?x?4. 设f(x,y)是连续函数, 且f(x,y)?xy?则f(x,y)?2??Df(x,y)dxdy,其中D由x轴、y轴以及直线x?y?1围成,

xy?21. 1225. 椭球面x?2y?z?1平行于平面x?y?2z?0的切平面方程为 x?y?2z?11?0 和 2x?y?2z?11?0. 2二. 选择题（本题15分，每小题3分）:

1. 设f(x)?(2?x)ln(1?x), 则f(x)在x?0处

(A) f?(0)??2, (B) f?(0)?0, (C) f?(0)?2, (D) 不可导. 答: (A)

2. 设函数y?f(x)具有二阶导数, 且满足方程y???y??esinx?0.已知f?(x0)?0,则

(A) f(x)在x0 的某个邻域中单调增加, (B) f(x)在x0 的某个邻域中单调增少,

(C) f(x)在x0处取得极小值, (D) f(x)在x0处取得极大值. 答: ( C)

3. 图中曲线段的方程为y?f(x), 函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数, 则积分

yA (A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, Cy?f(x) (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)

4. 设在区间 [a,b]上的函数f(x)?0, 且 f?(x)?0, f??(x)?0. 令 S1?O?a0xf?(x)dx表示

?baf(x)dxx, S2?f(b)(b?a),

B(a,0)1S3?[f(a)?f(b)](b?a), 则

2(A) S1?S2?S3, (B) S3?S1?S2, (C) S2?S1?S3, (D) S2?S3?S1.

答: (C )

5. 设 曲面??{(x,y,z)|z?x?y,0?z?1},取上侧为正, ?1是 ?在 x?0的部分, 则曲面积分

22?? (C) ??(A)

?xdydz?0, (B) ??zdxdy?2??zdxdy.

??1?y2dydz?2??y2dydz, (D) ??x2dydz?2??x2dydz,

?1??12答: (B)

t?x??0[(t?1)?0?(u)du]dt,三. (6分) 设函数 f?x???2sinx??0,x?0, 其中函数?处处连续. 讨论f(x)在x?0处的连x?0.续性及可导性.

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?解 limf(x)?limx?0x?0x0[(t?1)??(u)du]dt0t2x2?limx?0(x?1)??(u)du0x22x

?limx?0x??(u)du0x22x2x2x??(x2)?0?f(0) ?0?limx?02因此, f(x)在x?0处连续.

x?0x??limx20?(u)du

[(t?1)??(u)du]dt(x?1)??(u)du?f(x)?f(0)000?lim lim ?lim 3x?0x?0x?0xx3x2x??(u)du1?(u)du?1100?lim ?lim ???(0)

3x?0x23x?0x231因此, f(x)在x?0处可导, 且 f?(0)???(0).3

y?2?xy?1确定, 求复合函数四. (6分) 设函数x?x(t)由方程tcosx?x?0确定, 又函数y?y(x)由方程edyy?y(x(t))的导数.

dtt?0解 方程tcosx?x?0两边对t求导

dxdxcosx?tsinx???0. dtdt

当 t=0时, x=0, 故

x2x2t2x2dxcosx???1. dtt?0tsinx?1t?0x?0 方程e?xy?1 两边对x求导

dyy?2dy e??y?x??0.

dxdx 当 x?0时,y?2, 故

dyy?y?2?2.

dxx?0e?xx?0y?2y?2 因此,

dx??2.

x?0dtt?01f(x)?0，记?(x)??f?(xt)dt，求?(x)的导数，并五. (6分) 设函数f(x)在(??,??)上二阶可导，且limx?00x讨论??(x)在x?0处的连续性.

解 由已知的极限知f(0)?0,f?(0)?0, 从而有

dydy?dtt?0dx? ?(0)?当 x?0时, ?(x)??1010f?(0)dt?0.

f?(xt)dt?111xf(x)??从而有 f(xt)d(xt)?f(u)du?,??00xxx

??f(x),? ?(x)??x??0,x?0x?0.

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因为

lim?(x)?limx?0x?0f(x)?0??(0), x所以, ?(x)在x?0处连续. 当 x?0时, ??(x)?xf?(x)?f(x),

x2在x?0处, 由?(0)?0, 有 ??(0)?limx?0?(x)??(0)x?limx?0f(x)f?(x)1?lim?f??(0) 2x?0x2x2x?0

所以,

?xf?(x)?f(x),2??x ??(x)???1f??(0),??2而

lim??(x)?limx?0.f?(x)f(x)f?(x)f?(x) ?lim2?lim?limx?0x?0x?0xx?0x?02xxx1f?(x)1f?(x)?f?(0)1 ?lim?lim?f??(0)???(0),

x?0x?02x2x2故 ??(x)在x?0处连续.

22六. (7分) 设函数y?y(x)在(??,??)上可导, 且满足: y??x?y,y(0)?0.

(Ⅰ) 研究y(x)在区间(0,??)的单调性和曲线y?y(x)的凹凸性.

y(x) (Ⅱ) 求极限 lim3.x?0x

解 (Ⅰ) 当x?0时, 有

22 y??x ?y?0,

22 故 y(x)在区间(0,??)单调增加. 从而当x?0时, y??x?y也单调增加. 可见, 曲线y?y(x)在区间(0,??)向下凸. (或当x?0时, 可得

22 y???2x?2y?y??2x?2y(x?y)?0. 可见, 曲线y?y(x)在区间(0,??)向下凸. )

(Ⅱ) 由题设知, y(0)?y?(0)?0. 应用洛必达法则

y(x)y?(x)x2?y2?lim lim3?lim

x?0xx?03x2x?03x2211?y?1112 ??lim?????y?(0)??.

3x?03?x?333七. (7分) 设f(x)在[0,1]上具有连续导数, 且0?f?(x)?1,f(0)?0. 试证

?1f(x)dx]??1[f(x)]3dx.?0??0?? ?

xx证 令 F(x)???f(t)dt???[f(t)]3dt,则 F(x)在 [0,1]连续, 且对 x?(0,1),

?0?0??

22 F?(x)?2f(x)?x0f(t)dt?[f(x)]3

x2? ?f(x)2?f(t)dt?f(x)?.

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