内容发布更新时间 : 2024/12/24 2:34:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第十讲 图形的剪拼（二）

类似棋盘图形的剪拼问题更需要我们认真的思考、周密的分析，虽然有的问题难

度较大，但通过我们的探索，还是能寻找到规律性的.

例1 如右图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有A、B、C、D、E五个字母.

分析 图中有相同字母挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开，因此，首先要在它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180°必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线.这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如下图所示.

例2 如右图所示.请将这个正方形切成四块，使得它们彼此之间的形状和大小都相同，而且每块当中都含有A、B、C、D四个字母.

分析 先将图中两个相同字母挨在一起的之间划出切分线.因为要把正方形切成形状大小完全相同的四块，其中一块绕中心点旋转90°、180°、270°之后必定分别和另外三块重合.那么画出的切分线在绕中心旋转90°、180°、270°之后得到一些新的切分线，从而为我们解决问题提供了线索.

块里都应包含有四个小正方形.本题解答如右图所示.

例3 如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割？

分析 首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90°、180°、270°之后，得一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一

找到了符合要求的其中一块之后，让它绕中心旋转90°、180°、270°便得到其他三块，如右图.

例4 如下页图，甲、乙是两个大小一样的正方形.要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○.

分析 一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90°、180°、270°就可以得到另外三块.又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位.即每一块都由9个小正方格组成.另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑.

解：①将两个正方形重叠在一起，如右图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”.按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”.

②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线.并将这些截线绕中心点旋转90°、180°、270°得到另外三段截线.如右图.利用它们设想出划分线.

③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号（斜线阴影），然后将它绕中心旋转180°后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号（横线阴影），如右图.

对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“×”.每一块都有9个方格组成，不能断开.下图是分解了的分块过程示意图.

④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“×”.那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分.于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分.空白部分是另外两块.右图就是最后分得的结果.

例5 如右图所示，请将这个正方形分成大小和形状都一样的四块，并且使每一块都有A、B、C、D四个字母.

分析 这个正方形的面积是8×8=64（平方单位），切开后每一小块应是16平方单位（即由16个小方格组成），由于要求分成的四块形状、大小都相同，必定是由中心点分开的.而且其中一块若绕中心点旋转90°、180°、270°后必定和其他三块重合.

解：①将两个相同字母并列在一起的中间划出切分线，并将它们分别绕中心点旋转90°、180°、270°，得到相应的另三段切分线.如下左图所示.

②从最里层开始，沿着画出的切分线作设想分块，注意到题目的要求，找到满足要求题目的一块，如下右图中阴影部分

③将上面的阴影部分绕中心点旋转180°，可以得到符合条件的另一块，这样两块空白部分也符合条件，最后划分的结果如右图所示.

例6 如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形.问如何切分，能使划分的块数最少.

分析 切分前面积为12×90-80×10=10000（平方厘米）应与拼成后的正方形面积相等.拼成后正方形的边长x=100厘米.因为：100=120-20=90＋1O.假设上页图切成两块如下左图，然后将右块向上平移10厘米，再向左平移20厘米，就拼成了一个正方形，切分线不可能是直线，一定是折线段.切分后的两块类似阶梯形，然后由两个阶梯互相啮合，组成一个正方形，如下右图.

习题十

1.把右图划分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有一个字母.

2.将下图中的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个小圆圈

“○”.

3.将右图分成4块，使它们的形状、大小都相同并且每块内都有一个小圆圈“○”

4.如下图有两个正方形，请把每一个正方形分成两块，两个正方形共四块，使这四块的形状、大小都相同，并且每一块中都有A、B、C、D四个字母.

第十一讲格点与面积

请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方

格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.

显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.

例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.

分析 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.

解：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）. 第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）. 第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）. 第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）. 第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）.

第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）.

例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.

分析 这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.

解：矩形面积是6×4=24. 直角三角形Ｉ的面积是： 6×2÷2＝6.