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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习

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分式方程的解法及应用（基础）

【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】

【 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未

知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字

母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原

理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方

程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.

要点四、分式方程的应用

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分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：

（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；

（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；

（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】

类型一、判别分式方程

1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．

x?3x?21x?1x?24 ?? B．??4312x?1x?1x?11xa2C．3x?x?0 D．??x，（a，b为非零常数）

5abA．

【答案】B；

【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但

分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义．

【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．

类型二、解分式方程

2、 解分式方程（1）【答案与解析】 解：（1）

10551（2）2??2；?2?0．

2x?11?2xx?3xx?x105??2， 2x?11?2x将方程两边同乘(2x?1)，得

10?(?5)?2(2x?1)．

解方程，得x?检验：将x?∴ x?7． 475代入2x?1，得2x?1??0． 427是原方程的解． 451?2?0， （2）2x?3xx?x方程两边同乘以x(x?3)(x?1)，得5(x?1)?(x?3)?0． 解这个方程，得x?2．

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检验：把x?2代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是x?2．

【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根． 举一反三： 【变式】解方程：【答案】 解：

2?x1??2． x?33?x2?x1??2， x?33?x方程两边都乘x?3，得2?x??1?2(x?3)，

解这个方程，得x?3，

检验：当x?3时，x?3?0， ∴ x?3是增根， ∴ 原方程无解． 类型三、分式方程的增根

3、（2015春?安岳县期中）若解关于x的分式方程

会产生增根，

求m的值． 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【答案与解析】

解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得

2（x+2）+mx=3（x﹣2） ∵最简公分母为（x+2）（x﹣2）， ∴原方程增根为x=±2，

∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4． 把x=﹣2代入整式方程，得m=6． 综上，可知m=﹣4或6．

【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 举一反三： 【变式】如果方程

11?x有增根，那么增根是________． ?3?x?22?x【答案】x?2；

提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母x?2?0或2?x?0可得x?2．所以增根是x?2．

类型四、分式方程的应用

4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种

60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?

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