新人教版八年级上册数学[分式方程的解法及应用(基础)知识点整理及重点题型梳理] 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:53:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习

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分式方程的解法及应用(基础)

【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程. 2. 会列出分式方程解简单的应用问题. 【要点梳理】

【 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:(1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未

知数. (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字

母系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程.

(3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想:将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母,去掉分母.在去分母这一步变形时,有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤:

(1)方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母);

(2)解这个整式方程,求出整式方程的解;

(3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零,对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义,所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释:(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原

理,方程的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数,所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0,那么所得方程与原方程不是同解方程,这时求得的根就是原方程的增根.

(2)解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方

程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.

要点四、分式方程的应用

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分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行:

(1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系; (2)设未知数;

(3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程; (4)解这个分式方程;

(5)验根,检验是否是增根; (6)写出答案. 【典型例题】

类型一、判别分式方程

1、下列方程中,是分式方程的是( ).

x?3x?21x?1x?24 ?? B.??4312x?1x?1x?11xa2C.3x?x?0 D.??x,(a,b为非零常数)

5abA.

【答案】B;

【解析】A、C两项中的方程尽管有分母,但分母都是常数;D项中的方程尽管含有分母,但

分母中不含未知数,由定义知这三个方程都不是分式方程,只有B项中的方程符合分式方程的定义.

【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程,就看其有无分母,并且分母中是否含有未知数.

类型二、解分式方程

2、 解分式方程(1)【答案与解析】 解:(1)

10551(2)2??2;?2?0.

2x?11?2xx?3xx?x105??2, 2x?11?2x将方程两边同乘(2x?1),得

10?(?5)?2(2x?1).

解方程,得x?检验:将x?∴ x?7. 475代入2x?1,得2x?1??0. 427是原方程的解. 451?2?0, (2)2x?3xx?x方程两边同乘以x(x?3)(x?1),得5(x?1)?(x?3)?0. 解这个方程,得x?2.

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检验:把x?2代入最简公分母,得2×5×1=10≠0. ∴ 原方程的解是x?2.

【总结升华】将分式方程化为整式方程时,乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项,不要漏乘常数项.特别提醒:解分式方程时,一定要检验方程的根. 举一反三: 【变式】解方程:【答案】 解:

2?x1??2. x?33?x2?x1??2, x?33?x方程两边都乘x?3,得2?x??1?2(x?3),

解这个方程,得x?3,

检验:当x?3时,x?3?0, ∴ x?3是增根, ∴ 原方程无解. 类型三、分式方程的增根

3、(2015春?安岳县期中)若解关于x的分式方程

会产生增根,

求m的值. 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值. 【答案与解析】

解:方程两边都乘(x+2)(x﹣2),得

2(x+2)+mx=3(x﹣2) ∵最简公分母为(x+2)(x﹣2), ∴原方程增根为x=±2,

∴把x=2代入整式方程,得m=﹣4. 把x=﹣2代入整式方程,得m=6. 综上,可知m=﹣4或6.

【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行:①化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 举一反三: 【变式】如果方程

11?x有增根,那么增根是________. ?3?x?22?x【答案】x?2;

提示:因为增根是使分式的分母为零的根,由分母x?2?0或2?x?0可得x?2.所以增根是x?2.

类型四、分式方程的应用

4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种

60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树?

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