内容发布更新时间 : 2024/9/21 0:28:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

泗阳桃州中学高三数学复习活动单

矩阵与变换

目标要求：1、理解矩阵相等的概念，能熟练进行矩阵的乘法运算；

2、能熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，能用逆矩阵解二元一次方程组；3、熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法 活动一：知识要点梳理

1.乘法规则

b11?b11???(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵??的乘法规则：[a11 a12]??＝____________. ?b21??b21?

?a11 a12?与列向量?x0?的乘法规则：?a11 a12??x0?＝_________.

(2)二阶矩阵????????

?a21 a22??y0??a21 a22??y0?(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

?a11 a12??b11 b12? ?????a21 a22??b21 b22?

?a11×b11＋a12×b21 a11×b12＋a12×b22?＝?? ?a21×b11＋a22×b21 a21×b12＋a22×b22?

(4)两个二阶矩阵的乘法满足______律，但不满足________律和________律. 即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.

一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的________与后一个矩阵的________相等时才能进行乘法运算.

2.常见的平面变换

?1 0??1 0????；(2)伸压变换：如?1?； (3)反射变换：如??；

1??0 －1?0

?2??cos θ －sin θ??1 0?，?1 0?；

(4)旋转变换：如?，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如?????

?0 0??1 0??sin θ cos θ?

?1 k?(k∈R，且k≠0).

(6)切变变换：如??

?0 1?

1 ?(1)恒等变换：如??0

0?

3.逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是______，B称为A的________； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1＝B1A1.

－

－

－

4.特征值与特征向量

设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ 称为A的一个________，而α称为A的属于特征值λ的一个____________. 5.特征多项式

a b??λ－a －b??设A＝??是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝??＝ ?c d??－c λ－d?____________，称为A的特征多项式.

1.矩阵与行列式的区别

?a b?与它的行列式|A|＝?a b?的意义是不同的，矩阵不是一个数，而是

矩阵A＝????

?c d??c d?

4个数按顺序排列成的一个数表，行列式|A|是由矩阵A算出来的一个数，不同的矩

1

阵可以有相同的行列式，矩阵代表一个线性变换，它的行列式只是这个变换的性质之一.

2.行列式与矩阵

a b?a b???设A＝??，|A|＝??＝ad－bc，并记Δ＝|A|＝det(A) ?c d??c d?

①A可逆的充分必要条件是：Δ≠0；

db －ΔΔ1－②当Δ≠0时，A＝. ca－ ΔΔ

??????

3.特征值与特征向量的几何意义

从几何上看，特征向量经矩阵A的变换作用后，仍与原向量共线，这时特征向量或 者方向不变(λ>0)或者方向相反(λ<0).特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向活活动二：基础自测

1.设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元aij＝i2＋j(i＝1,2；j＝1,2)，则A＝__________.

?1 0??5?2.????＝________. ?0 －1??7?

????3.若A＝?，B＝?，则AB＝________.

11?11??2 2??－2 2??－1 0??0 －1?

4.设A＝?，B＝???，则AB的逆矩阵为_____________________.

? 0 1??1 0?

?1 6?，则A的特征值为______.

5.若A＝??

?5 2?

活动三：合作、探究、展示、提升

考向一 矩阵与变换

【例1】?(2011·江苏省苏北四市高三第一次调研测试)求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对

10?? 1 0?. 应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝? ，N＝?02??－11?

11

2211 －22

【训练1】 (2011·扬州中学冲刺)四边形ABCD和四边形A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′的变换矩阵M. 考向二 矩阵的乘法与逆矩阵

2

1 ?【例2】?已知矩阵A＝??0

0?

?0 －1?－

?，B＝??，求(AB)1. 2??1 0?

1 ?【训练2】 已知矩阵A＝??2

0?

1 ?

?，B＝?

?0 1?

3?1?

?，求矩阵AB的逆矩阵．

考向三 矩阵的特征值与特征向量

?2 a?，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变

【例3】?(2011·南通调研)已知矩阵M＝??

?2 1?

换下得到点P′(－4,0)，求： (1)实数a的值；

(2)矩阵M的特征值及其对应的特征向量．

?a b?，矩阵A属于特征值λ＝－1的一个特

【训练3】 (2011·南通调研)已知二阶矩阵A＝??1

?c d?

? 1??3?征向量为a1＝??，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝??，求矩阵A.

?2??－1?

?1?例4.已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝??，并且矩阵M对应的变?1?

换将点(－1,2)变换成(－2,4).

(1)求矩阵M；

(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系； (3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程.

3