内容发布更新时间 : 2024/12/23 2:57:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
22．1.2 二次函数y＝ax的图象和性质
2
项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax的图象必有除原点(0，0)以
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外的交点，故选择C.
2
方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加
1．会用描点法画出y＝ax的图象，理
以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除解抛物线的概念．
2
2．掌握形如y＝ax的二次函数图象和
法”． 性质，并会应用．
【类型二】实际问题中图象的识别 已知h关于t的函数关系式为h1
gt2(g为正常数，＝t为时间)，则函数图象2
一、情境导入
为( )
12
自由落体公式h＝gt(g为常量)，h与
2
解析：根据h关于t的函数关系式为h12
＝gt，其中g为正常数，t为时间，因此212
函数h＝gt图象是受一定实际范围限制
2的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.
方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．
解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax的图象开口向上，函数y＝
2
t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的
图象是什么形状呢？
二、合作探究
2
探究点一：二次函数y＝ax的图象 【类型一】图象的识别
已知a≠0，在同一直角坐标系中，
2
函数y＝ax与y＝ax的图象有可能是( )
ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)
当a＜0时，函数y＝ax的图象开口向下，
2
函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选
探究点二：二次函数y＝ax的性质
【类型一】利用图象判断二次函数的增减性 2
作出函数y＝－x的图象，观察图
象，并利用图象回答下列问题：
(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2 (2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3， 2 y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？ 解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y1 ＞y2，(2)由图象可知y3 方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误． 【类型二】二次函数的图象与性质的综 合题 已知函数y＝(m＋3)xm2 ＋3m－2 是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性． 解析：(1)由二次函数的定义可得 ??? m2＋3m－2＝2， ?? m＋3≠0，故可求m的值． (2)图象的开口向下，则m＋3＜0； (3)函数有最小值，则m＋3＞0； (4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定． 2 解：(1)根据题意，得?? ?m＋3m－2＝2，?解 ?m＋3≠0，得???m1＝－4，m2＝1， ?m∴当m＝－4或m＝1 ? ≠－3.时，原函数为二次函数． (2)∵图象开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下． (3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3，∴m＝1，∴当m＝1时，原函数有最小值． (4)当m＝－4时，此函数为y＝－x2 ，开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 当m＝1时，此函数为y＝4x2 ，开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察． 探究点三：确定二次函数y＝ax2 的表达式 【类型一】利用图象确定y＝ax2的解析式 一个二次函数y＝ax2 (a≠0)的图象经过点A(2，－2)关于坐标轴的对称点B，求其关系式． 解析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A(2， －2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A(2，－2)关于x轴的对称点B1(2，2)，点A(2，－2)关于y轴的对称点B2(－2，－2)． 解：∵点B与点A(2，－2)关于坐标轴 对称，∴B，B．当y＝ax2 1(2，2)2(－2，－2)的图象经过点B×22 1(2，2)时，2＝a，∴a＝12，∴y＝12x2；当y＝ax2的图象经过点B1(－2，－2)时，－2＝a×(－2)2 ，∴a＝－12 ，∴ y＝－1x2.∴二次函数的关系式为y＝122 x2或y＝－12 x2. 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案． 【类型二】二次函数y＝ax2 的图象与几何图形的综合应用 已知二次函数y＝ax2 (a≠0)与直 线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求： (1)a，b的值； (2)函数y＝ax2 的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标． 解析：直线与函数y＝ax2 的图象交点坐 标可利用方程求解． 解：(1)∵点A(1，b)是直线与函数y＝ ax2 图象的交点，∴点A的坐标满足二次函 2 数和直线的关系式，∴???b＝a×1， ??b＝2×1－3，∴ ???a＝－1， ? ? b＝－1.(2)由(1)知二次函数为y＝－x2 ，顶点 M(即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x2 ＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B的坐标为(－3，－9)． 【类型三】二次函数y＝ax2 的实际应用 如图所示，有一抛物线形状的桥 洞．桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB＝6m. (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关 系式为y＝ax2 .由题意可得B点的坐标 为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题． 解：(1)以O点为坐标原点，平行于线 段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×32 ，解得a＝－13，∴抛物线的函数关系式为y＝－12 3 x.