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平面向量的基本定理及坐标表示

[知识能否忆起]

一、平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 3．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

uuuruuuruuur(2)设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则

A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)

二、平面向量坐标运算

1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．

2．向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

uuuruuur(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.

三、平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.若a∥b?x1y2－x2y1＝0. [小题能否全取]

uuuruuuruuur1．(2012·广东高考)若向量AB＝(1,2)，BC＝(3,4)，则AC＝( )

A．(4,6) C．(－2，－2)

B．(－4，－6) D．(2,2)

uuuruuuruuurruuu解析：选A ∵AC＝AB＋BC，∴AC＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．

2．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于( )

A．(－2，－1) C．(3，－1)

B．(2,1) D．(－3,1)

解析：选A 由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)．

uuur3．(教材习题改编)已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是( )

34，－? A.?5??5

43－，? C.??55?

34

－，? B.??55?43，－? D.?5??5

uuur解析：选A ∵A(4,1)，B(7，－3)，∴AB＝(3，－4)，

uuuruuur34ABr＝?，－?. ∴与AB同向的单位向量为uuu5?|AB|?5

uuuruuuruuuruuur4．在平行四边形ABCD中，若AB＝(1,3)，AC＝(2,5)，则AD＝________，BD＝

________.

ruuuruuuuuuruuur解析：AD＝BC＝AC－AB＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)， uuuruuuruuurBD＝AD－AB＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)．

答案：(1,2) (0，－1)

5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的

uuuruuuruuuurn

中点，设AB＝a，AD＝b.若MN＝ma＋nb，则＝________.

m

uuuuruuuruuuruuur111

解析：∵MN＝MD＋DA＋AN＝－a－b＋a＝a－b，

424

1n

∴m＝，n＝－1.∴＝－4.

4m答案：－4

1.基底的不唯一性

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内

任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯 一的．

2．向量坐标与点的坐标的区别

要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不

同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

平面向量基本定理及其应用 典题导入

[例1] (2012·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD中，AC和

uuuruuuruuuruuuruuurBD相交于点O，设AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝

________(用向量a和b表示)．

uuurr2uuur2uuuruuurruuuOC1uuu[自主解答] ∵AB＝2DC，∴△DOC∽△BOA，且＝，∴AO＝AC＝(AD＋DC)

OA233

1221

a＋b?＝a＋b. ＝?2?333?

21[答案] a＋b

33

由题悟法

用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．

以题试法

uuuruuur1．(2012·南宁模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN＝λABuuur＋μAC，则λ＋μ的值为( )

11A. B. 231C. 4

D．1

uuuruuurrruuuruuuruuuuuuuruuu解析：选A 设CM＝mCB＝m(AB－AC)(0≤m≤1)，则AM＝AC＋CM＝(1uuurruuuruuur1uuuurmuuur1－muuum1－m1

AC－m) AC＋mAB，AN＝AM＝AB＋，所以λ＋μ＝＋＝.

222222

平面向量的坐标运算 典题导入

[例2] (1)(2012·西城期末)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是( )

A．(3，－1) C．(－3，－1)

B．(－1，－3) D．(－1, 3)

uuuruuuruuur(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.

①求3a＋b－3c；