内容发布更新时间 : 2024/5/3 15:58:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
立体几何中的向量方法
课时分配:
第一课 立体几何中的向量方法 1个课时 第二课 立体几何专 1个课时 第三课 立体几何中的向量方法——求点坐标 1个课时
3. 2.1 立体几何中的向量方法
【教学目标】
1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】
坐标法与向量法结合
适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
【教学难点】
【学前准备】：多媒体，预习例题
教学课程 第一课 教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测试 备注 立体几何中的向教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一量方法可以归纳为三定时间，使其通过思考能明确认识一、复习引入“三步曲”各阶段的主要任务，并能步：( l ）把几何问题（5分钟） 简明地叙述出来，为对本节后续内容转化为向量问题；的整体把握作准备坐标法。 ( 2 ）进行向量运算； 〔 3 ）由向量运算解释几何问题。 二..探究新知 （25分钟） 问题解答 一、问题探究 解：如课本图所问题1 ：阅读课本上的例4 ，示建立空间直角坐标请你找出其中的已知条件和求解问系，点D为坐标原点，题．这些求解问题能用向量方法解决设DC=1 吗？ (1)证明：连结学生独立阅读并分析题意，教师AC,AC交BD于点G,引导学生认识到本题具有一定的综连结EG 合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),11利用向量解决． E(0,,) 22问题2 ：从例4 的已知条件和因为底面ABCD是正方形，求解问题看，你认为应怎样把问题向所以点G是此正方形的中心，量化？如果建立坐标系，应怎样建11故点G的坐标为(,，0)立？ 22教师引导学生关注己知条件中且PA?(1,0,?1),EG?(1,0,?1)所以PA?22有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这而 EG?平面EDB,且PA?平面EDB些线段所在直线为坐标轴、以线段长所以，PA//平面EDB （正方形边长）为单位长度建立空间 直角坐标系，并意识到这是适合本题（2）证明：依题意得B(1,1,0),PB?(1,1,?1) 1111的坐标化方法．教师要求学生写出点又DE?(0,,),故PB?DE?0???0P , A ，Ｂ，Ｃ , D , E 的坐标．并进2222所以PB?DE一步写出PA,PB 等的坐标． 由已知EF?PB, 且EF?DE?E,问题3 ：考虑例4 ( 1 ) ，要所以PB?平面EFD证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？ 教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出（3）解：已知PB?EF,由（2）可知PB?发，启发学生考虑直线与平面平行的故?EFD是二面角C?PB?D的平面角。判定条件，引导学生通过讨论发现(x,y,z),则PF?(x,y,z?1)PA 与ＥＧ有平行关系，从而自然地设点F的坐标为想到写出 的坐标，并由 ＝k 证出Ｐ因为PF?kPBＡ∥ＥＧ ，进而证出ＰＡ∥平面Ｅ所以(x,y,z?1)?k(1,1,?1)?(k,k,?k)ＤＢ。 即x?k,y?k,z?1?k 因为PB?DF?0 问题4 ：考虑例4 ( 2 ) ，要所以(1,1,?1)?(k,k,1?k)证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？ ?k?k?1?k?3k?1?01所以k?教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出3112点F的坐标为(，，)3331又点E的坐标为(0,,2发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明PB 与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？ 在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知） · ＝０， ⊥ ， 111所以FE?(?,,?)366因为cos?EFD?FE?FDFEFDＤ ＰＢ⊥ＤＥ ＰＢ⊥平面ＥＦ 所以?EFD?60,即二面角C?PB?D的大小为601111121(?,,?)?(?,?,?)333?6?1?3661266?36?3 问题5 ：考虑例4( 3 ) ，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？ 教师从“计算二面角C 一PB 一D 的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C 一PB 一D 的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？ 教师引导学生考虑：点F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F 的坐标？ 让学生通过讨论写出确定点F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos ∠EFD＝ 计算∠EFＤ 的过程 问题6 ：考虑例4 后的思考题． 学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法． 三.巩固练习 （20分钟） 1.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA?CB?CD?BD?2