内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:10:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形． （3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；

（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据

三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x

2

轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），

， ∴

解得 ．

∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

2

令y=0，则﹣x+x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，0）， 由已知可得，

在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20， 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80， 又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC= =4 ，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0）， ②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4 ，

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0）或（8+4 ，0）

③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4 ，0）、（3，0）、（8+4 ，0）．

（4）如图，

AB= =2 ，BC=8﹣（﹣2）=10，AC= =4 ， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°． ∴AC⊥AB． ∵AC∥MN， ∴MN⊥AB．

设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2， ∵MN∥AC， △BMN∽△BAC

∴=， ∴=，

BM==，

MN==，

AM=AB﹣BM=2 ﹣=

∵S△AMN=AM?MN

=××

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=﹣（n﹣3）2+5，

当n=3时，△AMN面积最大是5， ∴N点坐标为（3，0）．

∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．

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