内容发布更新时间 : 2024/5/26 5:35:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0

(1)写出直线A?B?的方程； （2）计算出点P、Q的坐标；

（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q. 讲解: 通过读图, 看出A,B点的坐标.

'‘1?t?，(1 ) 显然A?1,1?t?, B??1， 于是 直线A?B?

''的方程为y??tx?1；

?x2?y2?1,2t1?t2（2）由方程组?解出P(0,1)、Q( ,)；221?t1?ty??tx?1,?1?01??, kQT0?tt1?t2?021?t211?t. ???22ttt(1?t)?t21?t （3）kPT? 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2例2 已知直线l与椭圆2?2?1(a?b?0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分

ab别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为y?kx?m(k?0). 代入椭圆方程b2x2?a2y2?a2b2， 得 b2x2?a2(k2x2?2kmx?m2)?a2b2. 化简后，得关于x的一元二次方程 (a2k2?b2)x2?2ka2mx?a2m2?a2b2?0. 于是其判别式??(2ka2m)2?4(a2k2?b2)(a2m2?a2b2)?4a2b2(a2k2?b2?m2). 由已知，得△=0．即a2k2?b2?m2. ①

在直线方程y?kx?m中，分别令y=0，x=0，求得R(?m,0),S(0,m). kmy??x??,k??,??kx?? 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 解得???y?m.?m?y.????22 代入①式并整理，得 a?b?1, 即为所求顶点P的轨迹方程．

x2y2

22ab方程??1形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? x2y223x2y2 例3已知双曲线2?2?1的离心率e?，过A(a,0),B(0,?b)的直线到原点的距

3ab离是

3. 2 （1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

讲解：∵（1）c?23,原点到直线AB：x?y?1的距离

a3abd?aba2?b2?3.ab3?.c2.

?b?1,a?2 故所求双曲线方程为 x?y2?1.

3（2）把y?kx?5代入x2?3y2?3中消去y，整理得 (1?3k2)x2?30kx?78?0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

y0?151 x0?x1?x2?15k?y0?kx0?5?,k???.BE21?3k21?3k2x0k ?x0?ky0?k?0,即

15k5k2??k?0,又k?0,?k?7

1?3k21?3k2故所求k=±7. 为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程. 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．

（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．

讲解：（1）设|PF1|?r1,|PF2|?r2,|F1F2|?2c, 对?PF1F2, 由余弦定理, 得

2r11?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c24a2?4c24a2?4c2 cos?F1PF2????1??1?1?2e?0，

r?r2r1r22r1r22r1r22(12)22解出 e?2.

2 （2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：

i) 当k存在时，设l的方程为y?k(x?c)………………①

x2y2 椭圆方程为2?2?1,A(x1,y1),B(x2,y2) 由e?2. 得 a2?2c2,b2?c2.

ab2于是椭圆方程可转化为 x?2y?2c?0………………②

将①代入②，消去y得 x2?2k2(x?c)2?2c2?0,

整理为x的一元二次方程，得 (1?2k2)x2?4ck2x?2c2(k2?1)?0.

22c1?k222c(1?k2)，2则x1、x2是上述方程的两根．且|x2?x1|?， |AB|?1?k|x?x|?211?2k21?2k2也可这样求解：

AB边上的高h?|F1F2|sin?BF1F2?2c?|k|,

11?k2S?|F1F2|?|y1?y2|

211?k2|k|S?22c()2c 2221?2k1?k ?c?|k|?|x1?x2|

2k2?k412 ?22c21?k|k|?22c2?22c?2c2. 22411?2k1?4k?4k4?4k?k2222ii) 当k不存在时，把直线

x??c代入椭圆方程得

y??21c,|AB|?2c,S?2c?2c2 22由①②知S的最大值为2c2 由题意得2c2=12 所以c2?62?b2 a2?122

22 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： x?y?1.

12262下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：x?my?c…………①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

22xy椭圆的方程为：??1,A(x1,y1),B(x2,y2) a2b22222.得：a2?2c2,b2?c2,于是椭圆方程可化为：x?2y?2c?0……② 2把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0 于是y1,y2是上述方程的两根.

由e?|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?m2|y2?y1|?1?m24m2c2?4c2(m2?2)m2?2