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化归与转化思想在数学解题中的应用探究

【摘要】化归与转化思想可以使学生经历探索学习的过程，改变学生的学习方式，还能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，是一种很重要的思维方法；还可以增强学生的数学应用意识，提高解决问题的能力，加强学生学习数学的兴趣．本文以化归与转化思想为研究基础，并在此基础上进行案例分析．

【关键词】化归与转化思想；数学解题；应用

目录

中文摘要……………………………………………………………………………………………1 引言…………………………………………………………………………………………………2 正文

1 化归与转化思想在高中数学中的应用应遵循的原则

1.1 生疏转向熟悉原则………………………………………………………………………3 1.2 正面转向反面原则………………………………………………………………………4 1.3 多元转向少元原则………………………………………………………………………5 1.4 一般转向特殊原则………………………………………………………………………6 1.5 局部和整体转化原则……………………………………………………………………7 1.6 主元和参变量转化原则…………………………………………………………………8 1.7 新定义运算转向普通运算原则…………………………………………………………9 1.8 等与不等之间的转化原则………………………………………………………………10 1.9 复杂转向简单原则………………………………………………………………………11 2 案例分析

2.1 解析几何中的转化思想…………………………………………………………………12 2.2 函数、方程、不等式之间的转化………………………………………………………15 2.3 立体几何中的转化思想…………………………………………………………………17 2.4 排列、组合、二项式定理之间的转化思想 …………………………………………20 2.5 三角函数，解三角形之间的转化思想 ………………………………………………21 2.6 复数转化为实数的思想 ………………………………………………………………23 2.7 数列中的转化思想 ……………………………………………………………………23 参考文献 …………………………………………………………………………………………25 英文摘要 …………………………………………………………………………………………25

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引言

随着课标课程改革的深入展开，越来越重视培养学生的能力，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养．考虑到时间的关系，本文只着重介绍化归与转化思想．化归和转化思想在数学学习中的重要作用：化归与转化思想可以使学生经历探索学习的过程，改变学生的学习方式，还能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，是一种很重要的思维方法；还可以增强学生的数学应用意识，提高解决问题的能力，加强学生学习数学的兴趣．

人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，在数学实践中体会到，在学生的数学学习过程中，决不能忽视化归与转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养．

长期以来，传统的数学教学中，只注重知识的传授，却忽视渗透数学思想方法的现象非常普遍，它严重影响了学生的思维发展和能力的培养．随着教育改革的不断深入，越来越多的教育工作者，充分认识到：中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识；另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，更好地理解数学，掌握数学，形成正确的数学观和一定的数学意识．事实上，单纯的知识教学，只显见于学生知识的积累，是会遗忘甚至消失的，而方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生，正所谓“授之以渔，不如授之以渔”．不管他们将来从事什么职业和工作，数学思想方法，作为一种解决问题的思维策略，都将随时随地有意无意地发挥作用．

化归与转化思想是解决数学问题的一种重要的方法，化归与转化思想是分析解决问题的一个重要基本思想，不少数学思想都是化归与转化思想的体现．就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力．

众所周知，在复杂的数学问题，都是由以下简单的命题复合而成或通过适当的演化而成的，如果我们学会了将复杂的数学问题化解为简单的基本问题，我们就能解决任何困难的、复杂的以及能够化解为初等数学题的“杂题”，因此我们总的解题策略是化归，即设法将我们待解决的或未解决的问题，通过某种转化，归结到一类已经解决或容易解决的问题中去，最终将问题给予圆满解答的一种手段和方法叫转化与化归思想．

数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法．化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决．在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决．因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简．

数学家波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”，的过程．因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一．

由于转化具有多向性，层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性．转化原则既可应用于沟通数学中各分支学科知识点的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性．而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性．

在数学解题中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的．

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1 化归与转化思想在高中数学中的应用应遵循的原则

1.1 生疏转向熟悉原则

将生疏的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．

数学解题过程事实上就是把问题由生疏向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化．

例1 （2001年上海高考卷）对任意函数f(x),x?D可按图1示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

① 输入数据x0?D，经数列发生器输出x1?f(x0)；

② 若x1?D，则数列发生器结束工作；若x1?D则将x1反馈回输入端，再输出x2?f(x1)，并依此规律继续下去，现定义f(x)?f打印4x?2． x?1N结束Y（Ⅰ）输入x0?49，则由数列发生器产生数列?xn?，请写出?xn?的所有项； 65图1

（Ⅱ）要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；

（Ⅲ）若输入x0时，产生的无穷数列?xn?，满足对任意正整数n均有xn?xn?1，求x0的取值范围． 解析 （Ⅰ） ?f(x)的定义域D?(??,?1)?(?1,??)，

?数列?xn?只有三项，x1? （Ⅱ）?f(x)?111，x2?，x3??1． 1954x?2?x，即x2?3x?2?0， x?14xn?2?xn， xn?1xi?D?．x?1或x?2，即x0?1或2时，xn?1?故当x0?1时，xn?1,当x0?2时，xn?2(n?N?)． （Ⅲ）解不等式x?对于函数f(x)?4x?2，得x??1或1?x?2，要使x1?x2，则x1??1或1?x1?2． x?14x?26，若x1??1则x2?f(x1)?4,x3?f(x2)?x2； ?4?x?1x?1若1?x1?2则x2?f(x1)?x1且1?x2?2．依此类推可得数列?xn?的所有项均满足xn?1?xn(n?N?)． 综上所述，x1?(1,2)由x1?f(x0)，得x0?(1,2)．

评注 此题富有新意，综合性、抽象性较强，解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学

语言．主要考查学生的阅读审题、综合理解的能力，涉及函数求值的简单运算、方程思想的应用，解不等式及化归转化思想的应用．

1.2 正面转向反面原则

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