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第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例

[考纲传真] (教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

(对应学生用书第74页)

[基础知识填充]

1．平面向量的数量积

(1)向量的夹角

→→

①定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝

θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．

图4-3-1

②当θ＝0°时，a与b同向． 当θ＝180°时，a与b反向． 当θ＝90°时，a与b垂直． (2)向量的数量积

定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0 ，即0·a＝0.

(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos

θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a；

(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．

结论 几何表示 1 / 10

坐标表示 模 数量积 |a|＝a·a |a|＝x1＋y1 22a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 cos θ＝夹角 a·bcos θ＝ |a||b|a·b＝0 |a·b|≤|a||b| x1x2＋y1y2 222x21＋y1·x2＋y2a⊥b |a·b|与|a||b|的关系 x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2| ≤x1＋y1·x2＋y2 2222[知识拓展] 两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( ) (2)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.( )

(3)向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.( )

(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．( ) (5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×

→?13?→?31?

2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )

?22??22?

A．30° C．60°

B．45° D．120°

333→?13?→?31?→→→→→

A [因为BA＝?，?，BC＝?，?，所以BA·BC＝＋＝.又因为BA·BC＝|BA442?22??22?3→

||BC|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以

2∠ABC＝30°.故选A．]

3．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )

A．－1 C．1

B．0 D．2

C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a＝2，a·b＝－3，

从而(2a＋b)·a＝2a＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，

2

2

2 / 10

∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，

从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C．]

4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.

7 [∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7.]

(对应学生用书第75页)

平面向量数量积的运算 (1)(2017·南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在→→

边BC，AC边上的高，则AD·BE＝( )

333333A．－ B． C．－ D．

2222

(2)(2017·北京高考)已知点P在圆x＋y＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，→→

则AO·AP的最大值为________.

【导学号：79140156】

→→→→

(1)A (2)6 [(1)由等边三角形的性质得|AD|＝|BE|＝3，〈AD，BE〉＝120°，所以

2

2

AD·BE＝|AD||BE|cos〈AD，BE〉＝3×3×?－?＝－，故选A．

2

(2)法一：根据题意作出图像，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．

→→→→→→

?1???

32

由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)．

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