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浅析弗赖登塔尔的数学教学原则

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上声望卓著的权威学者，荷兰皇家科学院院士、数学教育研究所前所长。在担任国际数学教育委员会主席期间，召开了第一届国际数学教育大会并创办了《数学教育研究》杂志，这是堪称世界数学教育发展史上两件划时代的大事，前国际数学教育委员会主席，巴黎十一大学校长加亨（Kahane）教授曾评论说：“对于数学教育；20世纪上半叶克莱因做出了不朽的功绩；20世纪的下半叶弗赖登塔尔做出了巨大的贡献。”

弗赖登塔尔发表了一系列论文和著作，他独特的数学教育思想在国际上产生了深远的影响。他从数学教育的特点出发，提出的数学教学原则是：“数学现实”原则、数学化原则、再创造原则、思想实验原则等。这几条数学教学原则不同于教育学加数学例子的模式，而是根据数学和数学教育的特点，对数学教学规律的深刻总结。以下笔者对弗氏的几条数学教学原则做简单的理解与分析。

一、“数学现实”原则

从数学发展史可以清楚地看到，无论是数学的概念，还是数学的运算、规则等都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。因而，数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。这是弗赖登塔尔的基

本出发点。据此，他提出数学教育应该是现实数学的教育，它应该源于现实、寓于现实、用于现实。例如，可以通过公共汽车经过各站上下车人数的增减来使学生形成加减法的概念及其运算法则;运用商店销售不同商品所获得的利润计算，帮助学生形成矩阵的概念，矩阵的运算相运算法则;用血压的变化介绍一般周期函数的概念。

弗氏认为数学教学内容应该是现实客观事物各种关系的反映，教学要时刻以这种关系为出发点，而不用顾虑它是数学的，还是物理的、日常生活的或是其他方面的关系。如果数学教学仅仅强调数学的演绎逻辑性，强调数学知识的内部联系，那么他必然会牺牲更为重要、更为自然的数学的外部联系，使数学悬浮于不可思议的一无所有的空间。只有教源于现实关系、寓于现实关系的数学，才能使学生明白和学会如何从现实中提出问题和解决问题，如何将所学知识更好地应用于现实。这种基于客观关系的教学也保证了学生在懂得了有关教学内容之后不会轻易忘记。 弗氏的“数学现实”还有另一层含义，即要求数学教育为社会培养各种不同层次的数学人才和根据每个学生的数学现实世界进行教学。他认为，数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。从这个意义上说，“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这

个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者说，每个人都有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算子、拓扑学以及纤维丛等等。所以，数学教育必须面向全体学生，培养适应不同层次、不同行业需要的数学人才，从只要掌握简单基本数学期识的售货员，有一定深度的数学知识的各种工程技术人员，直到从事高水平研究的专家。“每个人都有自己的数学现实”，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行，这一点十分重要。学生的知识基础、数学水平、生活经验等都是教师面对的“现实”，这实际上与我们以往强调的“从学生实际出发”差不多。教师对学生的“数学现实”不能不加区别，采取相同对待的态度进行教学，而必须了解每个学生的数学现实世界的水平和范围并以此为基础进行教学，才能使每个学生都有所收益，才能使他的“数学现实”世界不断扩大，达到他所能达到的高度。 二、数学化原则

弗赖登塔尔认为，人们运用数学的思想方法来观察现实世界，分析研究各种具体事物，并加以整理组织，经过进一步形式化、抽象化形成新的数学概念、方法、思想等，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。由于客观事物的不断变化和发展，人类认识的范围和深度要不断地拓