内容发布更新时间 : 2025/1/8 16:05:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
配套课时作业
→→
1．已知A(1,4)，B(－3,2)，向量BC＝(2,4)，D为AC的中点，则BD＝( ) A．(1,3) C．(－3，－3) 答案 B
??x＋3＝2，→
解析 设C(x，y)，则BC＝(x＋3，y－2)＝(2,4)，所以?
?y－2＝4，?
B．(3,3) D．(－1，－3)
??x＝－1，
解得?
?y＝6，?
即C(－1,6)．
→
由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5)，所以BD＝(0＋3,5－2)＝(3,3)．
→→
2．(2019·吉林白山模拟)AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，→
则AD＝( )
A．(2,4) C．(1,1) 答案 D
→→→→→
解析 ∵BC＝AC－AB＝(－1，－1)，∴AD＝BC＝(－1，－1)．
→→
3．已知向量AB与向量a＝(1，－2)反向共线，|AB|＝25，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为( )
A．(1,0) C．(5，－8) 答案 A
→→
解析 依题意，设AB＝λa，其中λ<0，则有|AB|＝|λa|＝－λ|a|，即25＝－5λ，→
∴λ＝－2，AB＝－2a＝(－2,4)，因此点B的坐标是(－2,4)＋(3，－4)＝(1,0)．故选A.
→→→
4．(2019·郑州模拟)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
2A．－ 31C. 2答案 A
→→→
解析 AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， →
4B. 31D. 3B．(0,1) D．(－8,5) B．(3,7) D．(－1，－1)
AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．
→→
因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线， 2
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
3
→→
→
5．(2019·宜昌模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB同方向的单位向量是( ) 4??3
A.?，－?
5??5
3??4
B.?，－?
5??5
?34?C.?－，?
?55?
答案 A
?43?D.?－，? ?55?
→
4?AB?3→→
解析 因为AB＝(3，－4)，所以与AB同方向的单位向量为＝?，－?.
5?→?5
|AB|
→→→
6．(2019·北京海淀模拟)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为( )
1A. 2C．1 答案 A
1→→→→1→1→→1→→→
解析 因为E为DC的中点，所以AC＝AB＋AD＝AB＋AB＋AD＝AB＋AE，即AE＝－AB＋
2222→
1B．－ 2D．－1
AC，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.故选A.
7．已知向量a＝(－3，－4)，则下列能使a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)成立的一组向量
1212
e1，e2是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(－1,2) B．e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6) C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)
?1?D．e1＝?－，1?，e2＝(1，－2) ?2?
答案 C
解析 作为基底，其应该满足的条件为不共线向量．A中，零向量与任意向量共线；B中，e1＝(－1,3)，e2＝(2，－6)共线；C中，e1＝(－1,2)，e2＝(3，－1)不共线；D中，e1
?1?＝?－，1?，e2＝(1，－2)共线． ?2?
→|AC|→2→1→
8．(2018·枣庄模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且满足OC＝OA＋OB，则
33→
|AB|
的值为( )
1A. 21C. 4答案 B
→→→
解析 由已知得，3OC＝2OA＋OB， →→→→
即OC－OB＝2(OA－OC)， →→
即BC＝2CA，如图所示，
1B. 32D. 5
→
|AC|1
故C为BA的靠近A点的三等分点，因而＝.选B.
→3|AB|
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一π→→→
点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若 OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ＝( )
4
A．22 C．2 答案 A
π→→→
解析 因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(2，2)，又因为OC＝λOA＋μOB，所以(2，
42)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.
→→→→→→→
10．已知非零不共线向量OA，OB，若2OP＝xOA＋yOB，且PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x，
B.2 D．42
y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 C．x＋2y－2＝0 答案 A
→→→→→→→→→
解析 由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB. →→→又2OP＝xOA＋yOB，
??x＝2＋2λ，所以?
?y＝－2λ，?
B．2x＋y－1＝0 D．2x＋y－2＝0
消去λ得x＋y－2＝0.故选A.
→→→→→→→11．(2019·江西临川模拟)如图，已知AB＝a，AC＝b，BC＝4BD，CA＝3CE，则DE＝( )