内容发布更新时间 : 2024/12/23 18:18:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
k4?kC2C18pk?P(X?k)?,k?0,1,2 4C20即X的分布律为
04?04C2C18C1860p0?P(X?0)???4495C20C2014?134C2C182C1832 p1?P(X?0)???4495C20C2024?22C2C18C183p2?P(X?0)???4495C20C20X 0 1 2 pk X的分布函数为: 60 9532 953 95x?0?0,?60,0?x?1??95 F(x)?P(X?x)??92?,1?x?2?95?x?2?1,
2.17 .袋中有同类型的小球5只,编号分别为1,2,3,4,5,今在袋中任取小球3只,,以X表示3总小球的最小号码,求随机变量X的分布律与分布函数.
2.17解:X的所有可能取值为1,2,3,其概率分布为
2C46P(X?1)?3?,C510P(X?2)?C3?,10C2335
P(X?3)?X 1 2 11?, 3C5103 pk X的分布函数为:
6 103 101 10x?1?0,?6,1?x?2??10 F(x)?P(X?x)??9?,2?x?3?10?x?3?1,
2.18.设连续型随机变量X的分布函数为
0,x?1,??F(x)??lnx,1?x?e?1,x?e?
(1)求P?X?2?, P?0?X?3?,P?2?X?2.5?.. (2)求X的密度函数.
2.18解:(1) 因为X是连续型随机变量,故
P(X?2)?P(X?2)?F(2)?ln2?0.69315, P(0?X?3)?P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1,P(2?X?2.5)?F(2.5)?F(2)?ln2.5?ln2?ln1.25?0.22314(2)X的密度函数为
x?1,?0,?1?1?,1?x?e, f(x)?F'(x)??,1?x?e,??x?x?其他,?0,0,x?e?2.18.设连续型随机变量X的分布函数为
x???2,x?0 F(x)??a?be?x?0?0,2(1)求常数a和b,(2)求X的概率密度函数,(3)求P(ln4?X?ln16)
2.19解:(1)由于1?F(??)?limF(x)?a,得a?1,又由于F(x)在x?0点右连续,
x???可得0?F(0)?limF(x)?a?b,即得a?b?0,b??1
x??0(2)X的密度函数为
??xe?x/2,x?0,f(x)?F'(x)??
?x?0?0,(3)因为X是连续型随机变量,故
2P(ln4?X?ln16)?F(ln16)?F(ln4)?1?e?eln12?ln162?eln14ln4???2????1?e???
?111???0.252442.20.设型随机变量X的概率分布为: ?/2 0 X ? 0.4 3?/2 0.1 pk 0.3 0.2 求型随机变量Y的概率分布:
(1) Y?(2X??)2, (2) Y?COS(2X??). 2.20解:(1)由X的分布律得 0 X ?/2 0.2 ? 0.4 3?/2 0.1 pk Y 0.3 ?2 0 ?2 4?2 于是即得Y?(2X??)2的分布律:
Y 0 0.2 ?2 0.7 4?2 0.1 pk (2) 由X的分布律得 X 0 0.3 ?/2 0.2 1 ? 0.4 3?/2 0.1 1 pk Y ?1 ?1 于是即得Y?COS(2X??)的分布律:
Y ?1 0.7 1 0.3 pk 2.21.设型随机变量X的分布函数为
?0,?0.3,?F(x)???0.8,??1,x??1?1?x?1
1?x?2x?2(1)求X的概率分布(2)求y?xX的概率分布。
2.21解:(1)X的概率分布为: X ?1 1 2 pk 0.3 0.5 0.2 (2)|X|X的概率分布为:
|X| 1 0.8 2 pk
0.2 2.22.设随机变量X~N(0,1),求下列随机变量Y的概率密度函数:
(1)Y?2X?1;(2)Y?e?X;(3)Y?X2,求Y?1?X的密度函数.
2.22解:X的密度函数和分布函数分别为:
x22fX(x)??(x)?12?e?,FX(x)??(x)?P(X?x),
且有FX'(x)??'(x)??(x)?fX(x)
(1)Y?2X?1的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中
y?1???y?1?FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)?P?X??????,
22????因此Y的密度函数为
fY(y)?dFY(y)?y?1??y?1?1?y?1???'????'????dy?2??2?2?2?2?1?y?1?2???111(y?1)???exp???exp?????2?2??22?22?8????
(2)Y?e?X的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中
0,y?0?, FY(y)?P(Y?y)?P(e?X?y)???P(X??lny),y?0当y?0时
FY(y)?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1??(?lny)??(lny)于是Y的密度函数为
0,?fY(y)?FY'(y)????(lny)(lny)',0,y?0,??1??y?0??(lny),y?0?y
0,y?0,???(lny)2???1exp???,y?0?y2?2???y?0,(3)Y?X的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中
20,y?0,?FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)???P(y?X?y,y?0,
0,y?0,?0,y?0,??????(y)??(?y),y?0??2?(y)?1,y?0.
于是Y的密度函数为
0,?fY(y)?FY'(y)???2?(y)(y)',0,??1?y???exp???,?2?y?2??0,y?0,??1???(y),y?0y?0??y
y?0,y?0,y?02.23.设随机变量X~U(0,?),求下列随机变量Y的概率密度函数:
(1)Y?2lnX;(2)Y?cosX;(3)Y?sinX.,求Y?1?X的密度函数.
2.23解:X的密度函数和分布函数分别为:
?1/?,0?x??,,FX(x)?P(X?x), fX(x)??其他,?0,且有FX'(x)?fX(x)
(1)Y?2lnX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y),其中
yy????2?2??FY(y)?P(Y?y)?P(2lnX?y)?P?X?e?FeX????, ????因此Y的密度函数为