内容发布更新时间 : 2024/5/4 0:06:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2.1平面向量的实际背景及基本概念

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．

(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？

提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．

(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 提示：用有向线段．

(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？ 提示：长度相等且方向相同． 2．归纳总结，核心必记 (1)向量的概念

数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)有向线段

带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度． (3)向量的表示方法

①向量可以用有向线段表示．向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作| AB|.

②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母a，b，c，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB， CD.

(4)几种特殊的向量

①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0. ②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量． ③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．

④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作a∥b；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.

[问题思考]

(1)两个向量能比较大小吗？

提示：不能．因为向量是具有方向的量． (2)向量就是有向线段，这种说法对吗？

提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量． (3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？

提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．

[课前反思]

(1)向量的概念： ； (2)有向线段： ； (3)向量的表示方法： ； (4)零向量： ； (5)单位向量： ； (6)相等向量： ； (7)平行向量(共线向量)： .

知识点1 讲一讲

1．(1)下列说法中正确的是( )

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 (2)下列说法中正确的有( )

向量的有关概念

①单位向量的长度大于零向量的长度； ②零向量与任一单位向量平行；

③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线； ④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性； ⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量． A．①② B．①②④ C．①③⑤ D．①②③

[尝试解答] (1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．

(2)①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0.②正确．③错误，平行向量所在的直线可能不共线．④错误，平行向量的平行关系不具有传递性．⑤错误，平行向量不一定是相等向量．

答案：(1)D (2)A

类题·通法

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

练一练

1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号) (1)两个单位向量不可能平行；

(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；

(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b. 解析：(1)错误，单位向量也可以平行；

(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合； (3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小． 答案：(1)(2)(3)

知识点2 向量的表示