内容发布更新时间 : 2024/11/17 13:34:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例

1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(重点) 2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(重点) 3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 平面几何中的向量方法

阅读教材P109～P110例2以上内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

→→

(1)若△ABC是直角三角形，则有AB·BC＝0.( ) →→

(2)若AB∥CD，则直线AB与CD平行.( )

【解析】 (1)错误.因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠

C为直角.

→→

(2)错误.向量AB∥CD时，直线AB∥CD或AB与CD重合. 【答案】 (1)× (2)× 教材整理2 向量在物理中的应用

阅读教材P111例3至P112例4以上内容，完成下列问题. 1.物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等.

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2.向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解. 3.动量mv是向量的数乘运算.

4.功是力F与所产生的位移s的数量积.

已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳.

→→

【解析】 由已知位移AB＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·AB＝2×(－4)＋3×3＝1. 【答案】 1

[小组合作型]

向量在平面几何中的应用

如图2-5-1，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且

AE，CD交于点P，求证：BP⊥DC.

图2-5-1

【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积. →→→2→→

【自主解答】 设PD＝λCD，并设正三角形ABC的边长为a，则有：CD＝BA－BC，

3→

→→→1→→→?2→→?1→1

PA＝PD＋DA＝λCD＋BA＝λ?BA－BC?＋BA＝(2λ＋1)BA－λBC.

3

?3?3

3

→→1→→→又EA＝BA－BC，PA∥EA，

3

1→→→1→∴(2λ＋1)BA－λBC＝kBA－kBC， 331

??32λ＋1于是有?1

λ＝??3k，

＝k，

1

λ＝，??7解得?3

k＝??7，

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→1→∴PD＝CD，

7

→→→1→4→∴BP＝BD＋DP＝BC＋BA，

77

→→?1→4→??2→→?从而BP·CD＝?BC＋BA?·?BA－BC?

7??3?7?8212102

＝a－a－acos 60°＝0. 21721由向量垂直的条件知，BP⊥DC.

垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，→→→→

如本题便是将向量BP，CD由基底BA，BC线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.

[再练一题]

1.已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 【证明】 设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则中点E(1,0)，F(2,1)， →→

∴AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)， →→

∴AF·DE＝2×1＋1×(－2)＝0， →→

∴AF⊥DE，∴AF⊥DE.

向量在解析几何中的应用

过点A(－2,1)，求： (1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程.

→→

【精彩点拨】 在直线上任取一点P(x，y)，则AP＝(x＋2，y－1)，由AP∥a可以得(1)，→

由AP⊥b可以得(2).

【自主解答】 设所求直线上任意一点P(x，y)，

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→

∵A(－2,1)，∴AP＝(x＋2，y－1).

→

(1)由题意知AP∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0， 即x－3y＋5＝0，

∴所求直线方程为x－3y＋5＝0. →

(2)由题意，知AP⊥b，

∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0， 即x－2y＋4＝0，

∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.

→

1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x，y)，从而得到向量AP的坐标. 2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.

[再练一题]

→→

2.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若RA＝2AP，求点P的轨迹方程.

【解】 设P(x，y)，R(x0，y0)， →

则RA＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， →

AP＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y).

??1－x0＝2x－1，→→

由RA＝2AP，得?

??－y0＝2y.

又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，

??1－x0＝2x－2， ①

∴?

?6－2x0＝2y， ②?

由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程.

向量在物理中的应用

(1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状

态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝( )

A.6 C.23

B.2 D.27

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