内容发布更新时间 : 2025/1/1 22:26:26星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

常微分方程

一、填空题

1．微分方程( 答：1

2．若M(x,y)和N(x,y)在矩形区域R内是(x,y)的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 答：(?M?N?1?)()??(y) ?y?xMdyndy)??y2?x2?0的阶数是____________ dxdx3．_________________________________________ 称为齐次方程. 答：形如

dyy?g()的方程 dxxdy?f(x,y)存在dx4．如果f(x,y) ___________________________________________ ,则

唯一的解y??(x),定义于区间x?x0?h 上,连续且满足初始条件y0??(x0) ,其中

h? _______________________ .

答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件 h?min(a,b) m5．对于任意的(x,y1) ,(x,y2)?R (R为某一矩形区域),若存在常数N(N?0)使 ______________________ ,则称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件. 答： f(x,y1)?f(x,y2)?Ny1?y2 6．方程

dy?x2?y2定义在矩形区域R:?2?x?2,?2?y?2上 ,则经过点 (0,0)的解的dx?11?x? 44存在区间是 ___________________ 答：

7．若xi(t)(i?1,2,.....n)是齐次线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,则w(t)满足一阶线性方程 ___________________________________

答：w'?a1(t)w?0

8．若xi(t)(i?1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________ 答：x??cixi?x

i?1n9．若?(x)为毕卡逼近序列??n(x)?的极限，则有?(x)??n(x)? __________________

MLnn?1h 答：

(n?1)!10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解y(x) ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．

dy?p(x)y2?q(x)y?r(x)的方程 y?z?y dx11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间． 答：形如答：开 12．方程

dy?dxy?1满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

答：D?{(x,y)?R2y?0}，（或不含x 轴的上半平面） 13．方程

dy?x2siny的所有常数解是 ． dx答：y?k?,k?0,?1,?2,?

14．函数组?1(x),?2(x),?,?n(x)在区间I上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．

答：充分

15．二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是 ．

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 16．方程y???2y??y?0的基本解组是 ．

答：ex,xex

17．若y??(x)在(??,??)上连续，则方程

x轴相交．

dy??(x)y的任一非零解 与dx 答：不能

18．在方程y???p(x)y??q(x)y?0中，如果p(x)，q(x)在(??,??)上连续，那么它的任一非零解在xoy平面上 与x轴相切．

答：不能

19．若y??1(x),y??2(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．

答：没有 20．方程

dy?1?y2的常数解是 ． dx答：y??1

21．向量函数组Y1(x),Y2(x),?,Yn(x)在其定义区间I上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式W(x)?0，x?I．

答：必要 22．方程

dy?x2?y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． dx答： xoy平面

23．方程x(y2?1)dx?y(x2?1)dy?0所有常数解是 ．

答：y??1,x??1

24．方程y???4y?0的基本解组是 ．

答：sin2x,cos2x

25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2

二、单项选择题

1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．