内容发布更新时间 : 2024/10/22 4:49:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
J 计数原理 J1 基本计数原理
10.J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( )
A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4
10.D [解析] 本题考查组合数等计数原理. 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次,如果都完全交换,每个人都要交换5次,也就是得到5份纪念品,现在6个同学总共交换了13次,少交换了2次,这2次如果不涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有2人,答案为D.
6.J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
6.B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识,考查分析问题和解决问题的能力.
法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数,放在三个位置,要求末尾必须放奇数,如果选
1221
到了0这个数,这个数不能放在首位,所以n＝C23C2A2＋C3C2＝12＋6＝18；
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法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C2C2A2－C3C2＝18. 7.K2、J1[2012·广东卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )
41A. B. 9321C. D. 99
7.D [解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理,解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数,再找到个位是0的个数,利用公式求解,
设个位数与十位数分别为y,x,则如果两位数之和是奇数,则x,y分别为一奇数一偶数：
1
第一类x为奇数,y为偶数共有：C15×C5＝25；
1
另一类x为偶数,y为奇数共有：C14×C5＝20.
两类共计45个,其中个位数是0,十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数,所以
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个位数是0的概率为：P(A)＝＝. 459
6.J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
6.D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识,考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力.要使所取出的4个数的和为偶数,则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求,所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有三类：
①4个都是偶数：1种；
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②2个偶数,2个奇数：C5C4＝60种；
4
③4个都是奇数：C5＝5种.∴不同的取法共有66种.
[点评] 对于计数问题,有时正确的分类是解决问题的切入点.同时注意分类的全面与到位,不要出现遗漏现象.
J2 排列、组合
11.J2[2012·山东卷] 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( )
A.232 B.252 C.472 D.484
11.C [解析] 本题考查排列、组合,考查运算求解能力,应用意识,中档题.
法一：(排除法)先从16张卡片选3张,然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况, 321C16－4C34－C4C12＝560－88＝472.
211112111121
法二：有红色卡片的取法有C14C3C4C4＋C4C3C4,不含红色卡片的取法有C4C4C4＋C3C4C8,
211112111121
总共不同取法有C14C3C4C4＋C4C3C4＋C4C4C4＋C3C4C8＝472.
8.J2[2012·陕西卷] 两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
A.10种 B.15种 C.20种 D.30种
8.C [解析] 本小题主要考查排列、组合的知识,解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算.依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局,第四局
2
必胜有C23种；打五局结束甲前四局赢两局,第五局必胜有C4×1＝6种；故甲胜共有10种,同样乙胜也有10种,所以共有20种,故选C.
5.J2[2012·辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )
A.3×3! B.3×(3！)3 C.(3！)4 D.9!
5.C [解析] 本小题主要考查排列组合知识.解题的突破口为分清是分类还是分步,是排列还是组合问题.
由已知,该问题是排列中捆绑法的应用,即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列,
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而后每个家庭内部进行全排列,即不同坐法种数为A3·A3A3·A33·3＝(3！).
2.J2[2012·课标全国卷] 将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
2.A [解析] 分别从2名教师中选1名,4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动
2
即可,则乙地就安排剩下的教师与学生,故不同的安排方法共有C12C4＝12种.故选A.
11.J2[2012·全国卷] 将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
11.A [解析] 本小题主要考查排列组合的应用,解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步.
第一步排第一列,一定是一个a、一个b和一个c,共有A33＝6种不同的排法,第二步排第二列,要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法,则总共有2A33＝12种不同的排法,故选A.
6.J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三
位数,其中奇数的个数为( )
A.24 B.18 C.12 D.6
6.B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识,考查分析问题和解决问题的能力.
法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数,放在三个位置,要求末尾必须放奇数,如果选
1221
到了0这个数,这个数不能放在首位,所以n＝C23C2A2＋C3C2＝12＋6＝18；
11211
法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C2C2A2－C3C2＝18. 10.J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( )
A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4
10.D [解析] 本题考查组合数等计数原理. 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次,如果都完全交换,每个人都要交换5次,也就是得到5份纪念品,现在6个同学总共交换了13次,少交换了2次,这2次如果不涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人,则收到4份纪念品的同学人数有2人,答案为D.
11.J2[2012·四川卷] 方程ay＝b2x2＋c中的a,b,c∈{－3,－2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A.60条 B.62条 C.71条 D.80条
11.B [解析] 由于要表示抛物线,首先a、b均不能为0. 又b要进行平方,且只需考虑不同情况,故b2在1,4,9中考虑. ①c＝0时,若a取1,则b2可取4或9,得到2条不同的抛物线；
若a取2,3,－2,－3任意一个,b2都有1,4,9三种可能,可得到4×3＝12条抛物线； 以上共计14条不同的抛物线；
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②c≠0时,在{－3,－2,1,2,3}中任取3个作为a,b,c的值,有A5＝60种情况,其中a,c取定,b
2
取互为相反数的两个值时,所得抛物线相同,这样的情形有4A3＝24种,其中重复一半,故不同的抛物线共有60－12＝48(条),
以上两种情况合计14＋48＝62(条). 6.J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
6.D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识,考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力.要使所取出的4个数的和为偶数,则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求,所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有三类：
①4个都是偶数：1种；
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②2个偶数,2个奇数：C5C4＝60种；
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③4个都是奇数：C5＝5种.∴不同的取法共有66种.
[点评] 对于计数问题,有时正确的分类是解决问题的切入点.同时注意分类的全面与到位,不要出现遗漏现象.
J3 二项式定理
1.J3[2012·四川卷] (1＋x)7的展开式中x2的系数是( ) A.42 B.35 C.28 D.21