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17《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解

【学习目标】

1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系. 2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．

3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．

5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：

定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.

要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：

?不等边三角形?三角形　?底边和腰不相等的等腰三角形 ?等腰三角形　???等边三角形?3.三角形的重要线段：

（1）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，

要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.

要点二、三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．

要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．

要点三、三角形的内角和与外角和

1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．

推论：1.直角三角形的两个锐角互余

2.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.

要点四、多边形及有关概念

1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.

2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．

要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.

3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形； (2)n边形共有

n(n?3) 条对角线． 2要点五、多边形的内角和及外角和公式

1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ． 要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决； (2)内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和，求其边数.

2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 要点诠释：(1)外角和公式的应用：

①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°. 【典型例题】

类型一、三角形的三边关系

1.已知三角形的三边长分别是3，8，x,若x的值为偶数，则x的值有 ( )． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D

【解析】x的取值范围：5?x?11，又x为偶数，所以x的值可以是6, 8, 10，故x的值有3个.

【总结升华】不要忽略“x为偶数”这一条件.

举一反三：

【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x为 时，所组成的三角形周长最大.

【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2

2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．

(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?

(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗? 【答案与解析】