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汕头市金山中学2013届高三上学期期末模拟考试

数学（理）试题

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CUM? A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}

????????????2．若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=

A．（-2,-4） B．(2,4) C．(6,10) D．(-6,-10) 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是

x1?1?A．y?ln(x?2) B．y??x?1 C．y=?? D．y?x?

x?2?4．一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为 12??85，则正视图中x的值为 3x33 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．已知实数a,b满足?1?a?1,?1?b?1，则函数 x44侧视图13x?ax2?bx?5有极值的概率是 31123A. B. C. D.

4234y?53，sinB=，则cosC的值为（ ） 1351656165616A． B. C. 或 D. ?

65656565656．△ABC中，已知cosA=

正视图俯视图图27.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.

4121 B. C. D. 9399abab8.设a?0,b?0． A.若2?2a?2?3b，则a?b B.若2?2a?2?3b，则a?b

ababC.若2?2a?2?3b，则a?b D.若2?2a?2?3b，则a?b

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)

9．设平面向量a=(－2，1)，b=(λ，－1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是______. 10．已知某位同学五次数学成绩分别是：121，127,123，a，125，若其平均成绩是124，则这组 数据的方差是_______.

211．已知递增的等差数列{an}满足a1?1，a3?a2?4，则an? 。

12．如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则AO·BC=_______. 13．已知在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则

????????C AC?_______, cosAA AC的取值范围为________.

14．设N?2n(n?N?,n?2)，将N个数x1,x2,?xN依次放入编号为

O B (第12题)

与偶

1,2,?,N的N个位置，得到排列P0?x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数

数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

NN和后个位置，得到排列 22N个数， 2P1分成两段，每段1?x1x3?xN?1x2x4?xN，将此操作称为C变换，将Pi并对每段作C变换，得到P2；当2?i?n?2时，将Pi分成2段，每段

N个数， i2并对每段作C变换，得到Pi?1，例如，当N?8时，P2?x1x5x3x7x2x6x4x8，此时

x7位于P2中的第4个位置.

（1）当n?16时，x7位于P2中的第___个位置； （2）当N?2(n?8)时，x173位于P4中的第___个位置.

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）

n0???π)，x?R的最大值是1，其图象经过点M?，?． 已知函数f(x)?Asin(x??)(A?0，（1）求f(x)的解析式；

（2）已知?，???0，?，且f(?)?

16．（本小题满分12分）

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随

?π1??32???π?2?312，f(?)?，求f(???)的值． 513机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 PM2.5（微克/立方米） (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 频数（天） 4 12 8 8 4 4 频率 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 (Ⅰ) 请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为?，求?的分布列及数学期望E?．

17．（本小题满分14分）

某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨。该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问： （1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？

（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的

2？（生产总量是指各年年产量之和） 3 18．（本小题满分14分）

已知数列?an?中，a1?1,a1?2a2?3a3???nan?(1)求数列?an?的通项公式an;

n?1an?1(n?1,n?Z)。 2(2)求数列n2an的前n项和Tn;

(3)若存在n?N，使关于n的不等式an?(n?1)?成立，求常数?的最小值。 19．（本小题满分14分） 设函数f(x)?lnx????a1在(0,)内有极值．(注：e是自然对数的底数．) x?1e1． e（I）求实数a的取值范围；

（II）若0?x1?1，x2?1，求证：f(x2)?f(x1)?e?2?20．（本小题满分14分）

?1?设函数f(x)??1??(n?N,且n?1,x?R).

?n??1?(Ⅰ)当x=6时, 求?1??的展开式中二项式系数最大的项；

?n?(Ⅱ)对任意的实数x, 证明

xxf(2x)?f(2)＞f?(x)(f?(x)是f(x)的导函数);

2nk?1?(Ⅲ)是否存在a?N, 使得an＜??1??＜(a?1)n恒成立? 若存在, 试证明你的结论并求出a的

k?k?1?值；若不存在, 请说明理由.

★ 高三理科数学 参考答案 一、选择题（40分）

题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 C 6 A 7 D 8 A 二、填空题（30分） 9．(?1,2)?(2,??) 10．4 11．2n?1 12．8 13．2;(2,3) 14．6;3?2n?4?11. 2三、解答题（80分）

15．解：（1）依题意有A?1，则f(x)?sin(x??)，将点M(而0????，??1?1,)代入得sin(??)?， 32325??????，（4分）???，故f(x)?sin(x?)?cosx；（6分） 3622312（2）依题意有cos??,cos??，

513?34125)，?sin??1?()2?,sin??1?()2?，（10分） 25513133124556???故f(???)?cos(???)?cos?cos??sin?sin???.（12分） 51351365而?,??(0,16.解：(Ⅰ) 众数约为22.5微克/立方米, 中位数约为37.5微克/立方米．(2分) （Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为

?7.5?0.1?22.5?0.3?37.5?0.2?52.5?0.2?67.5?0.1?82.5?0.1?40.5（微克/立方米）．( 因为40.5?35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境

需要改进．（5分）

（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)?随机变量?的可能取值为0,1,2.且? ～B(2,9.109). 1092?kk9kP(??k)?C()(1?)(k?0,1,2)， 所以21010所以变量?的分布列为

? 0 1 p 2 1 10018 10081 100118819?1??2??1.8（天）或E??nP?2??1.8（天）.（12分） 1001001001017. 解：设从2011年起，该车第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为an吨和bn吨，经过n年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为An吨和Bn吨。 E??0?（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为Dn吨，依题意，an?16000(1?50%)n?1=

32000， n2