内容发布更新时间 : 2024/5/24 15:14:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

余数性质及同余定理

知识框架

一、

带余除法的定义及性质

1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质

⑴ 被除数?除数?商?余数；除数?（被除数?余数）?商；商?（被除数?余数）?除数； ⑵ 余数小于除数． 二、

余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为

2

2.余数的加法定理

a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

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例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝

2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4

＝4 3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除

数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么an与bn除以m的余数也相同． 一、 1、 定义

整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即 a≡b（modm）

2、 同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）

〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）

〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）

其中性质〈3〉常被称为\同余的可传递性\，性质〈4〉、〈5〉常被称为\同余的可乘性，\性质〈6〉常被称为\同余的可开方性\

注意：一般地同余没有\可除性\，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）

3、 整数分类：

〈1〉用2来将整数分类，分为两类：

1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类：

0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

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同余定理

〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：

0（mod6）：0，6，12，18，24，…… 1（mod6）：1，7，13，19，25，…… 2（mod6）：2，8，14，20，26，…… 3（mod6）：3，9，15，21，27，…… 4（mod6）：4，10，16，22，29，…… 5（mod6）：5，11，17，23，29，……

重难点

一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。

同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．

例题精讲

【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？

【巩固】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．

【例 2】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求

这2个自然数各是多少？

【例 3】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都

是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

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