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09年工商管理团学联学习部——高数讲座

高数B（二）期末参考复习资料

—— 工管团学联学习部整理

第五章、定积分 1、基本概念：划分、近似、求和、逼近 几何意义

2 、可积函数类： 闭区间上至多有一个第一类间断点 单调有界函数

3、基本公式：ab(f±g)dx=∫ab fdx±∫ab gdx ∫ab f(x)dx=∫ac f(x)dx+∫cb f(x)dx ∫ab f(x)dx=-∫ab f(x)dx

若f(x)≤g(x)，则∫ab f(x)dx≤∫ab g(x)dx Minf(x)(b-a)≤∫ab f(x)dx≤Maxf(x)（b-a） ∫ab∣f(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx 定积分中值定理

4、积分上限函数及其导数： 若g(x)=

∫ab f(t)dt，则g’(x)=f(x) 若g(x)=

∫q(x)p(x)

f(t)dt，g’(x)=f(p(x))p’(x)-f(q(x))q’(x)

5、定积分计算方法：定义

牛顿----莱布尼茨公式 换元法 分部积分法

利用函数的周期性、奇偶性 6、反常积分（广义积分）：①定义： ⑴无穷限的反常积分

则

⑵无界函数的反常积分 ②收敛判别法：⑴收敛定义 ⑵比较审敛判别法 ⑶极限审敛判别法

例题

lim n→+∞ 1、 求极限： lim n→+∞

解：原式=

(11n2+1+122n2+1+…+1n2n2+1)1n (nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2)

原 式

=limn→+∞1nk=1n11+kn2 =0111+x2dx =arctanx︱01=π4

2、 求极限：limx→+∞0x1+t2 dtx+0xsintdtx2。

解：由于limx→+∞0x1+t2 dtx=limx→+∞1+x21=1(洛必达法则) limx→+∞0xsintdtx2=limx→+∞ddx0xsintdtddx（x2）(洛必达法则) =limx→+∞sinx2x=12 故原式=1+12=32

3、 设函数f（x）连续，且0x2-1ftdt=x,求f(8)。 解：对等式两边求导有 f(x2-1)2x=1 令x2-1=8.得x=3.代入得f(8)=16

4、 设f(x)在区间[0，且满足f(x)= x2cosx+0π2ftdt.试求f(x)。 解：不妨设0π2ftdt=A。则有f(x)= x2cosx+A A=0π2fxdx=0π2(x2cosx+A)dx=0π2x2dsinx+π2A

09年工商管理团学联学习部——高数讲座

=x2sinx︱0π2 20π2cosxdx+2xcosx︱0π2+π2A =π24 2+π2A，故A=π2 82（2 π）

所以f(x)= x2cosx+π2 82（2 π）

5、 证明方程lnx=xe

6、 0π1-cos2xdx在区间（0，+∞）内只有两个不同的实根。 证明：令F（x）=xe

lnx-0π1-cos2xdx，则limx→+∞F（x）=limx→+∞x(1e lnxx)- 0π1-cos2xdx=+∞ limx→0+F（x）=limx→0+(xe lnx-0π1-cos2xdx) =+∞

又F’（x）=1e-1x=x-ee*x，当x=e的时候，F’（x）=0.当x>e时，F’（x）>0，当0

7、 试确定常数a、b、c的值，使limx→0ax-sinxbxln(1+t3)tdt=c(c≠0)。

解：当x→0时，ax-sinx→0，若使c≠0，则必须bxln(1+t3)tdt→0x→0，

从而b=0。因为当b>0时，则ln(1+t3)t>0(t∈0，b)若b<0，则ln(1+t3)t>0(t∈b，0)，均与题意不符，故b=0。又等式左边

=limx→0ax-sinxln(1+x3)x=limx→0ax-sinxx2=c=右边。故a=1且c=12。 8、 设f(x)=0xsintπ-tdt，求0xf(x)dx。

解：由已知有f’(x)= sinxπ-x，则 0xf(x)dx= f(x)x︱0π-0xxf'(x)dx

=πf(π)- 0πxsinxπ-xdx

=π0xsintπ-tdt- 0πxsinxπ-xdx =π0πsinxπ-xdx- 0πxsinxπ-xdx